Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
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0 | 1,0 | 0,7651 | ||||
1 | 1,3 | 0,6200 | ||||
2 | 1,6 | 0,4554 | ||||
3 | 1,9 | 0,2818 | ||||
4 | 2,2 | 0,1104 |
(b) Estime o valor da função
em
, por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.
Passo 1
Beleza, aqui o que a gente tem que fazer:
– Montar a tabela de diferenças divididas (primeira, segunda, terceira e quarta ordens) a partir dos pontos .
– Depois usar um polinômio de Newton de grau 2 para estimar , escolhendo os 3 pontos mais próximos de
.
O conteúdo envolvido é Interpolação Polinomial de Newton e Diferenças Divididas. Vamos precisar lembrar como se calcula
– Montar a tabela de diferenças divididas (primeira, segunda, terceira e quarta ordens) a partir dos pontos
– Depois usar um polinômio de Newton de grau 2 para estimar
O conteúdo envolvido é Interpolação Polinomial de Newton e Diferenças Divididas. Vamos precisar lembrar como se calcula
etc., e depois montar o polinômio
Passo 2
Calcular as diferenças divididas de primeira ordem (toda a tabela em passos):
Temos ,
,
, etc.
1)
Temos
1)
Passo 3
Agora as diferenças de segunda ordem:
1)
1)
(observe o sinal, dividimos por
)
2)
2)
Passo 4
Como queremos um polinômio de grau 2 para
, escolhemos os 3 pontos mais próximos:
.
O polinômio de Newton de grau 2 é
O polinômio de Newton de grau 2 é
Substituindo os valores que achamos:
Passo 5
Agora é só avaliar em
:
Calcule:
,
.
Somando tudo:
Somando tudo:
Resposta
A estimativa pelo polinômio de Newton de grau 2 em
é