Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
i xi yi f[xi, xi+1] f[xi, ldots, xi+2] f[xi, ldots, xi+3] f[xi, ldots, xi+4]
0 1,0 0,7651
1 1,3 0,6200
2 1,6 0,4554
3 1,9 0,2818
4 2,2 0,1104
(b) Estime o valor da função f(x) em x=1,2, por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem que fazer:
– Montar a tabela de diferenças divididas (primeira, segunda, terceira e quarta ordens) a partir dos pontos f[xi,xi+1]=f(xi+1)-f(xi)xi+1-xi, f[xi,xi+1,xi+2]=f[xi+1,xi+2]-f[xi,xi+1]xi+2-xi, .
– Depois usar um polinômio de Newton de grau 2 para estimar P2(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) , escolhendo os 3 pontos mais próximos de .
O conteúdo envolvido é Interpolação Polinomial de Newton e Diferenças Divididas. Vamos precisar lembrar como se calcula
etc., e depois montar o polinômio

Passo 2

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem (toda a tabela em passos):
Temos f[x0,x1] =0,6200-0,76511,3-1,0 =-0,14510,3 approx -0,483667, , f[x1,x2] =0,4554-0,62001,6-1,3 =-0,16460,3 approx -0,548667, , f[x2,x3] =0,2818-0,45541,9-1,6 =-0,17360,3 approx -0,578667, , etc.
1)
f[x3,x4] =0,1104-0,28182,2-1,9 =-0,17140,3 approx -0,571333

Passo 3

Agora as diferenças de segunda ordem:
1)
(observe o sinal, dividimos por f[x0,x1,x2] =-0,483667-(-0,548667)1,6-1,0 =0,0650000,6 approx -0,108333 )
2)
f[x1,x2,x3] =-0,548667-(-0,578667)1,9-1,3 =0,0300000,6 approx -0,050000

Passo 4

Como queremos um polinômio de grau 2 para P2(x)=y0 +f[x0,x1],(x-1,0) +f[x0,x1,x2],(x-1,0)(x-1,3) , escolhemos os 3 pontos mais próximos: P2(x) =0,7651 -0,483667,(x-1,0) -0,108333,(x-1,0)(x-1,3) .
O polinômio de Newton de grau 2 é
Substituindo os valores que achamos:

Passo 5

Agora é só avaliar em P2(1,2) =0,7651 -0,483667,(0,2) -0,108333,(0,2),(-0,1) :
P2(1,2)approx0,7651-0,096733+0,002167 approx0,670534
Calcule:
,
.
Somando tudo:

Resposta

A estimativa pelo polinômio de Newton de grau 2 em boxedf(1,2)approx0,6705 é

Exercícios relacionados