Considere a tabela de pontos abaixo, obtenha uma aproximação para \mathrm{f}(0.4) usando polinômios na forma de Newton de graus 2, 3 e 4 . Encontre o erro associado a cada uma das interpolações.
x 0 0.2618 0.5234 0.7854 1.0472 1.309
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 0 1.0353 2 2.8284 3.4641 3.8637

Passo 1

O enunciado pede aproximações de \mathrm{f}(0,4) usando polinômios interpoladores na forma de Newton de graus 2, 3 e 4, e também o erro associado a cada interpolação. A tabela de pontos fornecida é (peguei estes números da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 0{,}2618 & 0{,}5234 & 0{,}7854 & 1{,}0472 & 1{,}309\\hline \mathrm{f}(x) & 0 & 1{,}0353 & 2 & 2{,}8284 & 3{,}4641 & 3{,}8637 \end{array}
Observação útil (tirada diretamente dos valores da tabela): os valores coincidem com \mathrm{f}(x)=4\sin(x) nos pontos dados (por exemplo \mathrm{f}(0{,}5234)=2=4\sin(0{,}5234), etc.). Vou usar isso explicitamente para obter o valor exato \mathrm{f}(0,4)=4\sin(0,4) quando calcular os erros.

Passo 2

Breve explicação da forma de Newton e das diferenças divididas (aula rápida e prática).
  • A interpolação de Newton usa a forma:
P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots+a_n(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1}),
onde os coeficientes a_k são as diferenças divididas:
a_0=f[x_0],\quad a_1=f[x_0,x_1],\quad a_2=f[x_0,x_1,x_2],\\ \text{etc.}
  • Diferenças divididas: para dois nós
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i},
e recursivamente
f[x_i,\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
  • Vou construir a tabela de diferenças divididas usando os cinco nós mais próximos de x=0{,}4, isto é os nós x_0=0{,}2618,\\ x_1=0{,}5234,\\ x_2=0{,}7854,\\ x_3=1{,}0472,\\ x_4=1{,}309. (Escolhi esses nós porque cercam 0{,}4 e são consecutivos na tabela.)

Passo 3

Valores iniciais (peguei estes valores da tabela):
\begin{aligned} x_0&=0{,}2618,& f_0&=f(x_0)=1{,}0353,\\\ x_1&=0{,}5234,& f_1&=f(x_1)=2{,}0000,\\\ x_2&=0{,}7854,& f_2&=f(x_2)=2{,}8284,\\\ x_3&=1{,}0472,& f_3&=f(x_3)=3{,}4641,\\\ x_4&=1{,}3090,& f_4&=f(x_4)=3{,}8637. \end{aligned}

Passo 4

Calcular as primeiras diferenças divididas f[x_i,x_{i+1}]:
\begin{aligned} f[x_0,x_1]&=\frac{2{,}0000-1{,}0353}{0{,}5234-0{,}2618}=\frac{0{,}9647}{0{,}2616}\approx3{,}6887,\\[4pt] f[x_1,x_2]&=\frac{2{,}8284-2{,}0000}{0{,}7854-0{,}5234}=\frac{0{,}8284}{0{,}2620}\approx3{,}1626,\\[4pt] f[x_2,x_3]&=\frac{3{,}4641-2{,}8284}{1{,}0472-0{,}7854}=\frac{0{,}6357}{0{,}2618}\approx2{,}4279,\\[4pt] f[x_3,x_4]&=\frac{3{,}8637-3{,}4641}{1{,}3090-1{,}0472}=\frac{0{,}3996}{0{,}2618}\approx1{,}5260. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular as segundas diferenças divididas f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]:
\begin{aligned} f[x_0,x_1,x_2]&=\frac{3{,}1626-3{,}6887}{0{,}7854-0{,}2618}=\frac{-0{,}5261}{0{,}5236}\approx-1{,}0047,\\[4pt] f[x_1,x_2,x_3]&=\frac{2{,}4279-3{,}1626}{1{,}0472-0{,}5234}=\frac{-0{,}7347}{0{,}5238}\approx-1{,}4026,\\[4pt] f[x_2,x_3,x_4]&=\frac{1{,}5260-2{,}4279}{1{,}3090-0{,}7854}=\frac{-0{,}9019}{0{,}5236}\approx-1{,}7229. \end{aligned}]

Passo 6

Calcular as terceiras diferenças divididas f[x_i,\dots,x_{i+3}]:
\begin{aligned} f[x_0,x_1,x_2,x_3]&=\frac{-1{,}4026-(-1{,}0047)}{1{,}0472-0{,}2618}=\frac{-0{,}3979}{0{,}7854}\approx-0{,}5067,\\[4pt] f[x_1,x_2,x_3,x_4]&=\frac{-1{,}7229-(-1{,}4026)}{1{,}3090-0{,}5234}=\frac{-0{,}3203}{0{,}7856}\approx-0{,}4078. \end{aligned}]

Passo 7

Calcular a quarta diferença dividida f[x_0,\dots,x_4]:
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{-0{,}4078-(-0{,}5067)}{1{,}3090-0{,}2618}=\frac{0{,}0989}{1{,}0472}\approx0{,}09444.

Passo 8

Agora tenho os coeficientes a_k para a forma de Newton com nó inicial x_0=0{,}2618:
\begin{aligned} a_0&=f[x_0]=1{,}0353,\\\ a_1&=f[x_0,x_1]\approx3{,}6887,\\\ a_2&=f[x_0,x_1,x_2]\approx-1{,}0047,\\\ a_3&=f[x_0,x_1,x_2,x_3]\approx-0{,}5067,\\\ a_4&=f[x_0,\dots,x_4]\approx0{,}09444. \end{aligned}

Passo 9

Interpolador de grau 2: escrevo P_2(x) e avalio em x=0{,}4.
P_2(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1).
Para x=0{,}4 calcule:
\begin{aligned} x-x_0&=0{,}4-0{,}2618=0{,}1382,\\\ x-x_1&=0{,}4-0{,}5234=-0{,}1234. \end{aligned}
Então
\begin{aligned} P_2(0{,}4)&=1{,}0353+3{,}6887\cdot0{,}1382+(-1{,}0047)\cdot(0{,}1382)(-0{,}1234)\\\ &\approx1{,}0353+0{,}50977+0{,}01714\approx1{,}56221. \end{aligned}

Passo 10

Valor exato usado para o cálculo do erro (peguei isto observando a relação na tabela \mathrm{f}(x)=4\sin x):
\mathrm{f}(0{,}4)=4\sin(0{,}4)\approx4\cdot0{,}38941834\approx1{,}55767337.

Passo 11

Erro do polinômio de grau 2:
\text{erro}_2=P_2(0{,}4)-\mathrm{f}(0{,}4)\approx1{,}56221-1{,}55767337\approx0{,}00454.

Passo 12

Interpolador de grau 3: acrescento o termo cúbico de Newton e avalio.
P_3(x)=P_2(x)+a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Para x=0{,}4 já tenho (x-x_0)(x-x_1)=0{,}1382\cdot(-0{,}1234)=-0{,}0170599. Multiplicando por x-x_2:
x-x_2=0{,}4-0{,}7854=-0{,}3854,
(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)=-0{,}0170599\cdot(-0{,}3854)\approx0{,}0065759.
Termo cúbico:
a_3\cdot(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\approx-0{,}5067\cdot0{,}0065759\approx-0{,}003331.
Logo
P_3(0{,}4)\approx1{,}56221-0{,}003331\approx1{,}55888.

Passo 13

Erro do polinômio de grau 3:
\text{erro}_3=P_3(0{,}4)-\mathrm{f}(0{,}4)\approx1{,}55888-1{,}55767337\approx0{,}00121.

Passo 14

Interpolador de grau 4: acrescento o termo quártico de Newton e avalio.
P_4(x)=P_3(x)+a_4(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).
Calcule x-x_3:
x-x_3=0{,}4-1{,}0472=-0{,}6472.
Já tinha (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\approx0{,}0065759, então
(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\approx0{,}0065759\cdot(-0{,}6472)\approx-0{,}004255.
Termo quártico:
a_4\cdot\text{produto}\approx0{,}09444\cdot(-0{,}004255)\approx-0{,}0004016.
Logo
P_4(0{,}4)\approx1{,}55888-0{,}0004016\approx1{,}55848.

Passo 15

Erro do polinômio de grau 4:
\text{erro}_4=P_4(0{,}4)-\mathrm{f}(0{,}4)\approx1{,}55848-1{,}55767337\approx0{,}00080.

Passo 16

Interpretação rápida e incentivo: os erros diminuem ao aumentar o grau (aqui de aproximadamente 4{,}5\times10^{-3} para 8,0\times10^{-4}). Isso era esperado porque foram adicionados termos que aproximam melhor a curvatura local de \mathrm{f} perto de 0{,}4. Boa! Continua assim — com esse passo a passo você consegue aplicar Newton na prova.

Resposta

Grau 2: P_2(0{,}4)\approx1{,}56221, erro \approx0{,}00454
Grau 3: P_3(0{,}4)\approx1{,}55888, erro \approx0{,}00121
Grau 4: P_4(0{,}4)\approx1{,}55848, erro \approx0{,}00080

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