Considere a tabela de pontos abaixo, obtenha uma aproximação para
usando polinômios na forma de Newton de graus 2, 3 e 4 . Encontre o erro associado a cada uma das interpolações.
x
0
0.2618
0.5234
0.7854
1.0472
1.309
0
1.0353
2
2.8284
3.4641
3.8637
| x | 0 | 0.2618 | 0.5234 | 0.7854 | 1.0472 | 1.309 |
|
|
0 | 1.0353 | 2 | 2.8284 | 3.4641 | 3.8637 |
Passo 1
O enunciado pede aproximações de
usando polinômios interpoladores na forma de Newton de graus
,
e
, e também o erro associado a cada interpolação. A tabela de pontos fornecida é (peguei estes números da tabela do enunciado):
Observação útil (tirada diretamente dos valores da tabela): os valores coincidem com
nos pontos dados (por exemplo
, etc.). Vou usar isso explicitamente para obter o valor exato
quando calcular os erros.
Passo 2
Breve explicação da forma de Newton e das diferenças divididas (aula rápida e prática).
- A interpolação de Newton usa a forma:
onde os coeficientes
são as diferenças divididas:
- Diferenças divididas: para dois nós
e recursivamente
- Vou construir a tabela de diferenças divididas usando os cinco nós mais próximos de
, isto é os nós . (Escolhi esses nós porque cercam e são consecutivos na tabela.)
Passo 3
Valores iniciais (peguei estes valores da tabela):
Passo 4
Calcular as primeiras diferenças divididas
:
Passo 5
Calcular as segundas diferenças divididas
:
Passo 6
Calcular as terceiras diferenças divididas
:
Passo 7
Calcular a quarta diferença dividida
:
Passo 8
Agora tenho os coeficientes
para a forma de Newton com nó inicial
:
Passo 9
Interpolador de grau
: escrevo
e avalio em
.
Para
calcule:
Então
Passo 10
Valor exato usado para o cálculo do erro (peguei isto observando a relação na tabela
):
Passo 11
Erro do polinômio de grau
:
Passo 12
Interpolador de grau
: acrescento o termo cúbico de Newton e avalio.
Para
já tenho
. Multiplicando por
:
Termo cúbico:
Logo
Passo 13
Erro do polinômio de grau
:
Passo 14
Interpolador de grau
: acrescento o termo quártico de Newton e avalio.
Calcule
:
Já tinha
, então
Termo quártico:
Logo
Passo 15
Erro do polinômio de grau
:
Passo 16
Interpretação rápida e incentivo: os erros diminuem ao aumentar o grau (aqui de aproximadamente
para
). Isso era esperado porque foram adicionados termos que aproximam melhor a curvatura local de
perto de
. Boa! Continua assim — com esse passo a passo você consegue aplicar Newton na prova.
Resposta
Grau
:
, erro
Grau :
, erro
Grau :
, erro
Grau
Grau