O enunciado pede duas coisas: (i) reorganizar o sistema de modo que a convergência do método de Gauss–Seidel fique garantida; (ii) resolver o sistema pelo método de Gauss–Seidel com precisão \varepsilon=5\times10^{-2}.
São quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, e quatro equações lineares.
A precisão pedida para o critério de parada do método iterativo é \varepsilon=5\times10^{-2}.
É necessário reorganizar o sistema de forma que a convergência seja garantida (normalmente via dominância diagonal por linhas).]
Passo 2
Motivação da reorganização e escolha concreta.
Para garantir convergência pelo método de Gauss–Seidel é suficiente (mas não necessária) que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante por linhas: em cada linha o módulo do coeficiente diagonal deve ser maior que a soma dos módulos dos demais coeficientes daquela linha. Podemos permutar as equações (linhas) sem alterar as soluções. Vou escolher uma permutação que coloque, na linha i, um coeficiente diagonal grande:
A equação 10x_{1}-x_{3}=10 tem coeficiente grande em x_{1} (valor 10), então vamos colocá‑la como primeira linha (diagonal para x_1).
A equação x_{1}+10x_{2}=2 tem coeficiente grande em x_{2} (valor 10), então vamos colocá‑la como segunda linha (diagonal para x_2).
A equação 2x_{3}-x_{4}=19 tem coeficiente maior em x_{3} (valor 2), então será a terceira linha (diagonal para x_3).
A equação x_{2}+10x_{4}=10 tem coeficiente grande em x_{4} (valor 10), então será a quarta linha (diagonal para x_4).
Verificação de dominância diagonal por linha (módulos):
Linha 1: |10| > |{-1}| \Rightarrow 10 > 1. OK.
Linha 2: |10| > |1| \Rightarrow 10 > 1. OK.
Linha 3: |2| > |{-1}| \Rightarrow 2 > 1. OK.
Linha 4: |10| > |1| \Rightarrow 10 > 1. OK.
Portanto a matriz correspondente é estritamente diagonalmente dominante por linhas e isso garante convergência do método de Gauss–Seidel para qualquer chute inicial.]
Passo 3
Derivar as fórmulas iterativas para Gauss–Seidel a partir do sistema reordenado.
Isolando cada incógnita pelo coeficiente diagonal da sua linha obtemos as fórmulas de atualização (cada atualização usa os valores mais recentes disponíveis):
Da linha 1: 10x_{1}-x_{3}=10 implica
x_{1}=\frac{10+x_{3}}{10}=1+0{,}1\,x_{3}.
Da linha 2: x_{1}+10x_{2}=2 implica
x_{2}=\frac{2-x_{1}}{10}=0{,}2-0{,}1\,x_{1}.
Da linha 3: 2x_{3}-x_{4}=19 implica
x_{3}=\frac{19+x_{4}}{2}=9{,}5+0{,}5\,x_{4}.
Da linha 4: x_{2}+10x_{4}=10 implica
x_{4}=\frac{10-x_{2}}{10}=1-0{,}1\,x_{2}.
Explicação do procedimento Gauss–Seidel (passo a passo): a cada iteração k calcula‑se