Reorganize o sistema abaixo de forma que tenha convergência garantida e resolva pelo método de Gauss-Seidel com precisão \varepsilon=5 \times 10^{-2}.
\left\{\begin{aligned} x_{1}+10 x_{2} & =2 \\ x_{2}+10 x_{4} & =10 \\ 10 x_{1}-x_{3} & =10 \\ 2 x_{3}-x_{4} & =19 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) reorganizar o sistema de modo que a convergência do método de Gauss–Seidel fique garantida; (ii) resolver o sistema pelo método de Gauss–Seidel com precisão \varepsilon=5\times10^{-2}.
O sistema fornecido é
\left\{\begin{aligned} x_{1}+10 x_{2} & =2,\\[4pt] x_{2}+10 x_{4} & =10,\\[4pt] 10 x_{1}-x_{3} & =10,\\[4pt] 2 x_{3}-x_{4} & =19. \end{aligned}\right.
Informações relevantes dadas:
  • São quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, e quatro equações lineares.
  • A precisão pedida para o critério de parada do método iterativo é \varepsilon=5\times10^{-2}.
  • É necessário reorganizar o sistema de forma que a convergência seja garantida (normalmente via dominância diagonal por linhas).]

Passo 2

Motivação da reorganização e escolha concreta.
Para garantir convergência pelo método de Gauss–Seidel é suficiente (mas não necessária) que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante por linhas: em cada linha o módulo do coeficiente diagonal deve ser maior que a soma dos módulos dos demais coeficientes daquela linha. Podemos permutar as equações (linhas) sem alterar as soluções. Vou escolher uma permutação que coloque, na linha i, um coeficiente diagonal grande:
  • A equação 10x_{1}-x_{3}=10 tem coeficiente grande em x_{1} (valor 10), então vamos colocá‑la como primeira linha (diagonal para x_1).
  • A equação x_{1}+10x_{2}=2 tem coeficiente grande em x_{2} (valor 10), então vamos colocá‑la como segunda linha (diagonal para x_2).
  • A equação 2x_{3}-x_{4}=19 tem coeficiente maior em x_{3} (valor 2), então será a terceira linha (diagonal para x_3).
  • A equação x_{2}+10x_{4}=10 tem coeficiente grande em x_{4} (valor 10), então será a quarta linha (diagonal para x_4).
Escrevendo o sistema com essa ordem de linhas:
\left\{\begin{aligned} 10x_{1}-x_{3} & =10,\\[4pt] x_{1}+10x_{2} & =2,\\[4pt] 2x_{3}-x_{4} & =19,\\[4pt] x_{2}+10x_{4} & =10. \end{aligned}\right.
Verificação de dominância diagonal por linha (módulos):
  • Linha 1: |10| > |{-1}| \Rightarrow 10 > 1. OK.
  • Linha 2: |10| > |1| \Rightarrow 10 > 1. OK.
  • Linha 3: |2| > |{-1}| \Rightarrow 2 > 1. OK.
  • Linha 4: |10| > |1| \Rightarrow 10 > 1. OK.
Portanto a matriz correspondente é estritamente diagonalmente dominante por linhas e isso garante convergência do método de Gauss–Seidel para qualquer chute inicial.]

Passo 3

Derivar as fórmulas iterativas para Gauss–Seidel a partir do sistema reordenado.
Isolando cada incógnita pelo coeficiente diagonal da sua linha obtemos as fórmulas de atualização (cada atualização usa os valores mais recentes disponíveis):
Da linha 1: 10x_{1}-x_{3}=10 implica
x_{1}=\frac{10+x_{3}}{10}=1+0{,}1\,x_{3}.
Da linha 2: x_{1}+10x_{2}=2 implica
x_{2}=\frac{2-x_{1}}{10}=0{,}2-0{,}1\,x_{1}.
Da linha 3: 2x_{3}-x_{4}=19 implica
x_{3}=\frac{19+x_{4}}{2}=9{,}5+0{,}5\,x_{4}.
Da linha 4: x_{2}+10x_{4}=10 implica
x_{4}=\frac{10-x_{2}}{10}=1-0{,}1\,x_{2}.
Explicação do procedimento Gauss–Seidel (passo a passo): a cada iteração k calcula‑se
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)} &= 1+0{,}1\,x_{3}^{(k)},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)} &= 0{,}2-0{,}1\,x_{1}^{(k+1)},\\[4pt] x_{3}^{(k+1)} &= 9{,}5+0{,}5\,x_{4}^{(k)},\\[4pt] x_{4}^{(k+1)} &= 1-0{,}1\,x_{2}^{(k+1)}, \end{aligned}
usando sempre os valores já atualizados quando disponíveis (por exemplo x_{1}^{(k+1)} entra na fórmula de x_{2}^{(k+1)}). O critério de parada será
\max_{i=1,\dots,4}\big|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}\big|<\varepsilon,
com \varepsilon=5\times10^{-2}.]

Passo 4

Escolha do chute inicial e primeira iteração.
Escolho o chute inicial zero (vetor nulo), que é comum e funciona porque já garantimos convergência:
x^{(0)}=(0,0,0,0).
Agora calculo a iteração 1 (cada cálculo mostrado passo a passo):
  • x_{1}^{(1)} = 1 + 0{,}1\cdot x_{3}^{(0)} = 1 + 0{,}1\cdot 0 = 1.
  • x_{2}^{(1)} = 0{,}2 - 0{,}1\cdot x_{1}^{(1)} = 0{,}2 - 0{,}1\cdot 1 = 0{,}2 - 0{,}1 = 0{,}1.
  • x_{3}^{(1)} = 9{,}5 + 0{,}5\cdot x_{4}^{(0)} = 9{,}5 + 0{,}5\cdot 0 = 9{,}5.
  • x_{4}^{(1)} = 1 - 0{,}1\cdot x_{2}^{(1)} = 1 - 0{,}1\cdot 0{,}1 = 1 - 0{,}01 = 0{,}99.
Portanto
x^{(1)}=\big(1,\;0{,}1,\;9{,}5,\;0{,}99\big).

Passo 5

Segunda iteração k=1\to2:
  • x_{1}^{(2)} = 1 + 0{,}1\cdot x_{3}^{(1)} = 1 + 0{,}1\cdot 9{,}5 = 1 + 0{,}95 = 1{,}95.
  • x_{2}^{(2)} = 0{,}2 - 0{,}1\cdot x_{1}^{(2)} = 0{,}2 - 0{,}1\cdot 1{,}95 = 0{,}2 - 0{,}195 = 0{,}005.
  • x_{3}^{(2)} = 9{,}5 + 0{,}5\cdot x_{4}^{(1)} = 9{,}5 + 0{,}5\cdot 0{,}99 = 9{,}5 + 0{,}495 = 9{,}995.
  • x_{4}^{(2)} = 1 - 0{,}1\cdot x_{2}^{(2)} = 1 - 0{,}1\cdot 0{,}005 = 1 - 0{,}0005 = 0{,}9995.
Portanto
x^{(2)}=\big(1{,}95,\;0{,}005,\;9{,}995,\;0{,}9995\big).
Diferenças em relação à iteração anterior:
\begin{aligned} |x_{1}^{(2)}-x_{1}^{(1)}| &= |1{,}95-1| = 0{,}95,\\[4pt] |x_{2}^{(2)}-x_{2}^{(1)}| &= |0{,}005-0{,}1| = 0{,}095,\\[4pt] |x_{3}^{(2)}-x_{3}^{(1)}| &= |9{,}995-9{,}5| = 0{,}495,\\[4pt] |x_{4}^{(2)}-x_{4}^{(1)}| &= |0{,}9995-0{,}99| = 0{,}0095. \end{aligned}
O máximo destas diferenças é 0{,}95, ainda maior que \varepsilon=0{,}05. Continuamos.]

Passo 6

Terceira iteração k=2\to3:
  • x_{1}^{(3)} = 1 + 0{,}1\cdot x_{3}^{(2)} = 1 + 0{,}1\cdot 9{,}995 = 1 + 0{,}9995 = 1{,}9995.
  • x_{2}^{(3)} = 0{,}2 - 0{,}1\cdot x_{1}^{(3)} = 0{,}2 - 0{,}1\cdot 1{,}9995 = 0{,}2 - 0{,}19995 = 0{,}00005.
  • x_{3}^{(3)} = 9{,}5 + 0{,}5\cdot x_{4}^{(2)} = 9{,}5 + 0{,}5\cdot 0{,}9995 = 9{,}5 + 0{,}49975 = 9{,}99975.
  • x_{4}^{(3)} = 1 - 0{,}1\cdot x_{2}^{(3)} = 1 - 0{,}1\cdot 0{,}00005 = 1 - 0{,}000005 = 0{,}999995.
Portanto
x^{(3)}=\big(1{,}9995,\;0{,}00005,\;9{,}99975,\;0{,}999995\big).
Diferenças em relação à iteração anterior:
\begin{aligned} |x_{1}^{(3)}-x_{1}^{(2)}| &= |1{,}9995-1{,}95| = 0{,}0495,\\[4pt] |x_{2}^{(3)}-x_{2}^{(2)}| &= |0{,}00005-0{,}005| = 0{,}00495,\\[4pt] |x_{3}^{(3)}-x_{3}^{(2)}| &= |9{,}99975-9{,}995| = 0{,}00475,\\[4pt] |x_{4}^{(3)}-x_{4}^{(2)}| &= |0{,}999995-0{,}9995| = 0{,}000495. \end{aligned}
O máximo destas diferenças é 0{,}0495.
Comparando com o critério pedido: 0{,}0495 < \varepsilon=0{,}05. Portanto atingimos a precisão pedida e podemos parar.]

Resposta

x_{1}=1{,}9995
x_{2}=0{,}00005
x_{3}=9{,}99975
x_{4}=0{,}999995

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