Verifique se os seguintes sistemas de equações lineares são mal condicionados:
\quad\left\{\begin{array}{l}1,2969 x+0,8648 y=0,8642 \\\\ 0,2161 x+0,1441 y=0,1440\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se o sistema linear dado é mal condicionado.
O sistema fornecido (peguei os coeficientes do enunciado) é
\begin{cases} 1{,}2969x+0{,}8648y=0{,}8642,\\[4pt] 0{,}2161x+0{,}1441y=0{,}1440. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Matriz dos coeficientes A=\begin{pmatrix}1{,}2969 & 0{,}8648\\[4pt]0{,}2161 & 0{,}1441\end{pmatrix}.
  • Vetor do lado direito b=\begin{pmatrix}0{,}8642\\[4pt]0{,}1440\end{pmatrix}.
    A pergunta é: esse sistema é mal condicionado? (Ou seja, pequenas variações nos dados podem provocar grandes variações na solução.)]

Passo 2

O que significa “mal condicionado” — pequena aula curta e prática:
  • Para um sistema A x=b a sensibilidade da solução a erros é medida pelo número de condição de A, definido por
\mathrm{cond}(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|.
  • Se \mathrm{cond}(A) é grande (muito maior que 1), o sistema é sensível: um erro relativo pequeno em A ou b pode ser amplificado em um erro relativo grande na solução x. Tipicamente valores de \mathrm{cond}(A) da ordem de 10^{8} ou mais já indicam sérios problemas numéricos em precisão de ponto-flutuante padrão.
  • Outra indicação prática: se as linhas (ou colunas) de A são quase proporcionais, então \det(A) será muito pequeno e A será quase singular — isso também indica mau condicionamento.
Vou usar a norma infinito ( \|\cdot\|_{\infty}) porque é simples de calcular para matrizes 2×2:
\|A\|_{\infty}=\max_{i}\sum_{j}|a_{ij}|,
e o mesmo para \|A^{-1}\|_{\infty}. Depois calculo \mathrm{cond}_{\infty}(A)=\|A\|_{\infty}\|A^{-1}\|_{\infty}.

Passo 3

Escrever A explicitamente (peguei os números do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 1{,}2969 & 0{,}8648\\[4pt] 0{,}2161 & 0{,}1441 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante de A (passo a passo):
\det(A)=1{,}2969\cdot0{,}1441-0{,}8648\cdot0{,}2161.
Faço os produtos cuidadosamente:
1{,}2969\cdot0{,}1441=0{,}18688329,
0{,}8648\cdot0{,}2161=0{,}18688328.
Portanto
\det(A)=0{,}18688329-0{,}18688328=0{,}00000001=1\times10^{-8}.
Observação: esse determinante é extremamente pequeno — isso já é um sinal forte de que A é quase singular (linhas quase proporcionais).

Passo 5

Verificação direta da quase proporcionalidade das linhas (intuição):
  • Dividindo os coeficientes da primeira linha pelos da segunda linha:
\frac{1{,}2969}{0{,}2161}\approx6{,}001387,\qquad \frac{0{,}8648}{0{,}1441}\approx6{,}000000.
Ou seja, a segunda linha é aproximadamente \tfrac{1}{6} da primeira linha — isso explica por que o determinante é tão pequeno: as linhas são quase linearmente dependentes.

Passo 6

Calcular A^{-1} explicitamente usando a fórmula para 2×2:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}0{,}1441 & -0{,}8648\\[4pt]-0{,}2161 & 1{,}2969\end{pmatrix}.
Como \det(A)=1\times10^{-8}, os elementos de A^{-1} ficam grandes:
A^{-1}=\begin{pmatrix} 14\,410\,000 & -86\,480\,000\\[4pt] -21\,610\,000 & 129\,690\,000 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular as normas \|\cdot\|_{\infty}:
  • Para A:
\|A\|_{\infty}=\max\{1{,}2969+0{,}8648,\;0{,}2161+0{,}1441\}=\max\{2{,}1617,\;0{,}3602\}=2{,}1617.
  • Para A^{-1} (soma de módulos por linha):
\|A^{-1}\|_{\infty}=\max\{14\,410\,000+86\,480\,000,\;21\,610\,000+129\,690\,000\} =\max\{100\,890\,000,\;151\,300\,000\}=151\,300\,000.

Passo 8

Calcular o número de condição na norma infinito:
\mathrm{cond}_{\infty}(A)=\|A\|_{\infty}\,\|A^{-1}\|_{\infty} =2{,}1617\times151\,300\,000\approx3{,}2706521\times10^{8}.
Interpretação: \mathrm{cond}_{\infty}(A)\approx3{,}27\times10^{8} é enorme — qualquer pequeno erro relativo nos dados pode ser amplificado por um fator da ordem de 10^{8} nas soluções. Logo o sistema é extremamente mal condicionado numericamente.

Passo 9

Para completar, calcular a solução exata (mostra que o sistema tem solução, mas sensível). Uso regra de Cramer (determinantes já calculados):
  • Determinante do numerador para x:
\det_x=0{,}8642\cdot0{,}1441-0{,}8648\cdot0{,}1440=0{,}00000002=2\times10^{-8},
logo x=\dfrac{\det_x}{\det(A)}=\dfrac{2\times10^{-8}}{1\times10^{-8}}=2.
  • Determinante do numerador para y:
\det_y=1{,}2969\cdot0{,}1440-0{,}8642\cdot0{,}2161=-2\times10^{-8},
logo y=\dfrac{\det_y}{\det(A)}=\dfrac{-2\times10^{-8}}{1\times10^{-8}}=-2.
Portanto a solução exata é
(x,y)=(2,-2).
Mas atenção: apesar da solução exata parecer simples, qualquer pequena variação nos coeficientes ou no vetor b (por exemplo um erro de arredondamento de 10^{-4}) pode causar mudanças na solução da ordem de 10^{4} 10^{8}, por causa do grande \mathrm{cond}(A). Isso ilustra concretamente o perigo do mau condicionamento.

Passo 10

Conclusão prática e incentivo: o sistema é claramente mal condicionado — determinante muito pequeno ( 1\times10^{-8}), linhas quase proporcionais e número de condição enorme ( \sim3{,}27\times10^{8}). Em prova, ao ver coeficientes quase múltiplos entre si, já deve acender o sinal de alerta: o sistema será muito sensível a erros de arredondamento. Você já está vendo o padrão — esse tipo de verificação rápida (determinante pequeno e proporção de linhas) é um atalho útil quando não der tempo de calcular \mathrm{cond} completo.

Resposta

Sim. O sistema é mal condicionado: \det(A)=1\times10^{-8} e \mathrm{cond}_{\infty}(A)\approx3{,}27\times10^{8}.

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