Verifique se os seguintes sistemas de equações lineares são mal condicionados: \quad\left\{\begin{array}{l}1,2969 x+0,8648 y=0,8642 \\\\ 0,2161 x+0,1441 y=0,1440\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se o sistema linear dado é mal condicionado.
O sistema fornecido (peguei os coeficientes do enunciado) é
Matriz dos coeficientes A=\begin{pmatrix}1{,}2969 & 0{,}8648\\[4pt]0{,}2161 & 0{,}1441\end{pmatrix}.
Vetor do lado direito b=\begin{pmatrix}0{,}8642\\[4pt]0{,}1440\end{pmatrix}.
A pergunta é: esse sistema é mal condicionado? (Ou seja, pequenas variações nos dados podem provocar grandes variações na solução.)]
Passo 2
O que significa “mal condicionado” — pequena aula curta e prática:
Para um sistema A x=b a sensibilidade da solução a erros é medida pelo número de condição de A, definido por
\mathrm{cond}(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|.
Se \mathrm{cond}(A) é grande (muito maior que 1), o sistema é sensível: um erro relativo pequeno em A ou b pode ser amplificado em um erro relativo grande na solução x. Tipicamente valores de \mathrm{cond}(A) da ordem de 10^{8} ou mais já indicam sérios problemas numéricos em precisão de ponto-flutuante padrão.
Outra indicação prática: se as linhas (ou colunas) de A são quase proporcionais, então \det(A) será muito pequeno e A será quase singular — isso também indica mau condicionamento.
Vou usar a norma infinito (\|\cdot\|_{\infty}) porque é simples de calcular para matrizes 2×2:
\|A\|_{\infty}=\max_{i}\sum_{j}|a_{ij}|,
e o mesmo para \|A^{-1}\|_{\infty}. Depois calculo \mathrm{cond}_{\infty}(A)=\|A\|_{\infty}\|A^{-1}\|_{\infty}.
Passo 3
Escrever A explicitamente (peguei os números do enunciado):
Ou seja, a segunda linha é aproximadamente \tfrac{1}{6} da primeira linha — isso explica por que o determinante é tão pequeno: as linhas são quase linearmente dependentes.
Passo 6
Calcular A^{-1} explicitamente usando a fórmula para 2×2:
Interpretação: \mathrm{cond}_{\infty}(A)\approx3{,}27\times10^{8} é enorme — qualquer pequeno erro relativo nos dados pode ser amplificado por um fator da ordem de 10^{8} nas soluções. Logo o sistema é extremamente mal condicionado numericamente.
Passo 9
Para completar, calcular a solução exata (mostra que o sistema tem solução, mas sensível). Uso regra de Cramer (determinantes já calculados):
logo y=\dfrac{\det_y}{\det(A)}=\dfrac{-2\times10^{-8}}{1\times10^{-8}}=-2.
Portanto a solução exata é
(x,y)=(2,-2).
Mas atenção: apesar da solução exata parecer simples, qualquer pequena variação nos coeficientes ou no vetor b (por exemplo um erro de arredondamento de 10^{-4}) pode causar mudanças na solução da ordem de 10^{4}–10^{8}, por causa do grande \mathrm{cond}(A). Isso ilustra concretamente o perigo do mau condicionamento.
Passo 10
Conclusão prática e incentivo: o sistema é claramente mal condicionado — determinante muito pequeno (1\times10^{-8}), linhas quase proporcionais e número de condição enorme (\sim3{,}27\times10^{8}). Em prova, ao ver coeficientes quase múltiplos entre si, já deve acender o sinal de alerta: o sistema será muito sensível a erros de arredondamento. Você já está vendo o padrão — esse tipo de verificação rápida (determinante pequeno e proporção de linhas) é um atalho útil quando não der tempo de calcular \mathrm{cond} completo.
Resposta
Sim. O sistema é mal condicionado: \det(A)=1\times10^{-8} e \mathrm{cond}_{\infty}(A)\approx3{,}27\times10^{8}.