Considere a tabela seguinte que contém valores da porosidade ( P) e do fator de formação ( F) de várias amostras de rochas. Assumindo que que P e F estão relacionados por uma expressão da forma F=a P^-b. Aplique o método dos mínimos quadrados para a estimativa de a e b.
porosidade F
0.45 3.92
0.43 4.1
0.37 4.77
0.38 4.88
0.242 8.72
0.257 8.2
0.285 6.1
0.329 5.6
0.23 9.6

Passo 1

O enunciado pede pra estimar os parâmetros F = a,P^-b e na lei
usando o método dos mínimos quadrados.
Conteúdo: regressão linear via transformação logarítmica.
O que precisamos:
  1. Linearizar a relação tomando logaritmo (transformar num problema ).
  2. Calcular somas de , , e (onde e ).
  3. Aplicar as fórmulas de mínimos quadrados pra achar e .
  4. Voltar pra parâmetros originais: e .

Passo 2

Linearização: tome F = a,P^-b dos dois lados de
ln F = ln a ;-; b,ln P
ficando
x = ln P, y = ln F, A = ln a, B = -b,
Definindo
y = A + B,x
fica a reta

Passo 3

Agora, pra cada par xi = ln Pi, yi = ln Fi da tabela, calcule
x = ln(0.45)approx -0.7985, y = ln(3.92)approx 1.3661
Exemplo: para ,
Faça isso pras 9 amostras.

Passo 4

Calcule as somas
Sx=sumi xi, Sy=sumi yi, Sxx=sumi xi^2, Sxy=sumi xi,yi,
e as médias
bar x=Sxn, bar y=Syn, n=9
Numérico aproximado:
Sxapprox -10.2198,; Syapprox 15.9841,; Sxxapprox 12.1033,; Sxyapprox -18.8125

Passo 5

As fórmulas dos mínimos quadrados pra reta B = n,Sxy - Sx,Syn,Sxx - Sx^2, A = bar y - B,bar x são
B approx 9cdot(-18.8125) - (-10.2198),(15.9841) 9cdot12.1033 - (-10.2198)^2 approx -1.3407,
Substituindo:
A = 1.7760 - (-1.3407),(-1.1355)approx 0.2535
a = e^A approx e^0.2535approx 1.29, b = -B approx 1.34
Voltando aos parâmetros originais:

Resposta

a ≈ 1.29
b ≈ 1.34

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