Determine uma base ortogonal, em relação ao produto interno
para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois (com coeficientes reais).
Passo 1
Beleza, a questão tá pedindo: “A gente tem o espaço dos polinômios de grau ≤ 2 (ou seja, combinações de 1, x e x²) e o produto interno é
\langle f,g\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x),g(x),dx.
A tarefa é achar uma base ortogonal pra esse espaço usando esse produto interno.”
Conteúdo: Gram–Schmidt no espaço de polinômios com produto interno dado por integrais. Vamos precisar calcular integrais simples (às vezes zeros, por paridade) e aplicar o processo de ortogonalização.
\langle f,g\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x),g(x),dx.
A tarefa é achar uma base ortogonal pra esse espaço usando esse produto interno.”
Conteúdo: Gram–Schmidt no espaço de polinômios com produto interno dado por integrais. Vamos precisar calcular integrais simples (às vezes zeros, por paridade) e aplicar o processo de ortogonalização.
Passo 2
Começamos com a lista de vetores (polinômios) canônicos:
v₁(x)=1, v₂(x)=x, v₃(x)=x².
O processo de Gram–Schmidt vai transformar v₁,v₂,v₃ em u₁,u₂,u₃ ortogonais.
v₁(x)=1, v₂(x)=x, v₃(x)=x².
O processo de Gram–Schmidt vai transformar v₁,v₂,v₃ em u₁,u₂,u₃ ortogonais.
Passo 3
Definimos u₁=v₁=1.
Primeiro, calculemos ⟨u₁,u₁⟩ = ∫₋π^π 1·1 dx = 2π.
Então u₁(x)=1 é nosso primeiro vetor ortogonal.
Primeiro, calculemos ⟨u₁,u₁⟩ = ∫₋π^π 1·1 dx = 2π.
Então u₁(x)=1 é nosso primeiro vetor ortogonal.
Passo 4
Agora ortogonalizamos v₂(x)=x em relação a u₁:
u₂(x) = v₂(x) – proj_{u₁}(v₂)
proj_{u₁}(v₂) = (⟨v₂,u₁⟩/⟨u₁,u₁⟩)·u₁.
Calculemos ⟨v₂,u₁⟩ = ∫₋π^π x·1 dx. Como x é função ímpar, essa integral dá 0.
Logo proj_{u₁}(v₂)=0 e u₂(x)=x.
u₂(x) = v₂(x) – proj_{u₁}(v₂)
proj_{u₁}(v₂) = (⟨v₂,u₁⟩/⟨u₁,u₁⟩)·u₁.
Calculemos ⟨v₂,u₁⟩ = ∫₋π^π x·1 dx. Como x é função ímpar, essa integral dá 0.
Logo proj_{u₁}(v₂)=0 e u₂(x)=x.
Passo 5
Agora v₃(x)=x². Vamos tirar as projeções em u₁ e u₂:
u₃(x) = v₃(x) – (⟨v₃,u₁⟩/⟨u₁,u₁⟩)·u₁ – (⟨v₃,u₂⟩/⟨u₂,u₂⟩)·u₂.
u₃(x) = v₃(x) – (⟨v₃,u₁⟩/⟨u₁,u₁⟩)·u₁ – (⟨v₃,u₂⟩/⟨u₂,u₂⟩)·u₂.
-
⟨v₃,u₁⟩ = ∫₋π^π x²·1 dx = 2·∫₀^π x² dx = 2·(π³/3) = 2π³/3.
⟨u₁,u₁⟩ = 2π.
Então coeficiente em u₁: (2π³/3)/(2π) = π²/3. -
⟨v₃,u₂⟩ = ∫₋π^π x²·x dx = ∫₋π^π x³ dx = 0 (função ímpar).
⟨u₂,u₂⟩ = ∫₋π^π x² dx = 2π³/3, mas não vai aparecer porque o numerador é zero.
Logo u₃(x) = x² – (π²/3)·1 – 0·x = x² – π²/3.
Resposta
A base ortogonal (não normalizada) para P₂ é:
{,1,; x,; x² – \tfrac{π²}{3},}.
{,1,; x,; x² – \tfrac{π²}{3},}.