Aproxime a função tabelada abaixo por uma função do tipo:
g(t)=1001+alpha e^-beta t
(determinando alpha e beta ), através de um método de mínimos quadrados discreto
t 0 1 2 3 4 5 6
F(t) 10 15 23 33 45 58 69

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma tabela de valores de g(t)=1001+alpha e^-beta t para e queremos achar uma função do tipo
que “case” o máximo possível com esses pontos, usando o método de mínimos quadrados discretos.
Conteúdo: vamos usar uma transformação logarítmica para deixar o modelo linear e daí aplicar regressão linear (método dos mínimos quadrados). Preciso de noções de logaritmo, soma de termos, e as fórmulas básicas de regressão e .

Passo 2

Transformação: note que
g(t)=1001+alpha e^-beta t Longrightarrow 100g(t) -1 = alpha e^-beta t
Se definirmos
y = ln!l(100F(t) - 1r), x = t,
então vira
y = lnalpha ;-;beta,t
Ou seja, é um modelo linear
y = A + B,x,
onde e . Aí basta fazer uma regressão linear entre os pares e .

Passo 3

Calcular para cada :
t_i F(t_i) 100/F–1 y_i = ln(…)
0 10 9.0000 2.1972
1 15 5.6667 1.8971
2 23 3.3478 1.2071
3 33 2.0303 0.7084
4 45 1.2222 0.2007
5 58 0.7241 –0.3228
6 69 0.4493 –0.8014

Passo 4

Agora a gente calcula as somas necessárias (com sum xi = 0+1+2+3+4+5+6 = 21, sum yi = 2.1972 + 1.8971 + 1.2071 + 0.7084 + 0.2007 -0.3228 -0.8014 approx 4.0863, pontos):
sum xi^2 = 0^2+1^2+dots+6^2 = 91, sum xi yi approx 0cdot2.1972 + 1cdot1.8971 + dots + 6cdot(-0.8014) approx 0.8169

Passo 5

Aplicando as fórmulas da regressão linear:
B = nsum xi yi - (sum xi)(sum yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2 = 7cdot0.8169 - 21cdot4.08637cdot91 - 21^2 approx -0.4085
A = bar y - B,bar x = sum yin ;-; B,sum xin = 4.08637 - (-0.4085)217 approx 1.8093
Lembrando que e .

Passo 6

Então
alpha = e^A approx e^1.8093 approx 6.106, beta = -B approx 0.4085

Resposta

A função ajustada por mínimos quadrados discreto é
boxedg(t)=1001 + 6.106,e^-0.4085,t

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