Ajustar aos pontos da tabela abaixo:
xk 2.0 2.30 2.5 2.9
yk 1.19 1.27 1.32 1.41
Por uma função do tipo: emptyset(x)=alpha1 ln (x)+alpha2 1x pelo método dos mínimos quadrados. Resolver o sistema gerado por Eliminação de Gauss.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente ajustar uma curva do tipo
emptyset(x)=alpha1ln(x)+alpha21x
aos pontos
c|cccc xk&2.0&2.30&2.5&2.9hline yk&1.19&1.27&1.32&1.41
usando o método dos mínimos quadrados e depois resolver o sistema normal por Eliminação de Gauss.
Conteúdo: ajuste por mínimos quadrados, equações normais e Eliminação de Gauss. A gente vai precisar:
  1. definir as variáveis transformadas e ;
  2. montar as somas necessárias para as equações normais;
  3. formar o sistema linear e resolver por Gauss.

Passo 2

Modelagem e equações normais
– Chamamos de S(alpha1,alpha2)=sumi=1^4 ri^2 =sumi=1^4l(yi-alpha1ui-alpha2vir)^2 e partial Spartialalpha1=0, partial Spartialalpha2=0 .
– O resíduo em cada ponto é sum ui^2,alpha1;+;sum uivi,alpha2 ;=;sum yiui,[6pt] sum uivi,alpha1;+;sum vi^2,alpha2 ;=;sum yivi .
– Nos mínimos quadrados, minimizamos
Para achar o mínimo, derivamos parcialmente e igualamos a zero:
Isso gera o sistema normal

Passo 3

Cálculo das somas
Montamos uma tabelinha e computamos numericamente (valores aproximados):
c|cccc i&1&2&3&4hline xi&2.0&2.30&2.5&2.9 yi&1.19&1.27&1.32&1.41 ui=ln xi&0.6931&0.8329&0.9163&1.0647 vi=1/xi&0.5000&0.4348&0.4000&0.3448hline ui^2&0.4804&0.6937&0.8396&1.1336 vi^2&0.2500&0.1890&0.1600&0.1189 uivi&0.3466&0.3625&0.3665&0.3672 yiui&0.8250&1.0580&1.2095&1.5011 yivi&0.5950&0.5521&0.5280&0.4864
Somando cada coluna:
sum ui^2&=3.1473, & sum vi^2&=0.7179, sum uivi&=1.4428, & sum yiui&=4.5936, &&sum yivi&=2.1615

Passo 4

Montando o sistema normal
[
3.1473 & 1.4428 1.4428 & 0.7179 alpha1alpha2 = 4.59362.1615

.
]

Passo 5

Eliminação de Gauss
  1. Usamos a primeira linha como pivô:
L2 L2-1.44283.1473,L1 Longrightarrow 3.1473,alpha1+1.4428,alpha2=4.5936, 0;,alpha1+0.0560,alpha2=0.0555
  1. Da segunda equação isolamos alpha2=0.05550.0560approx0.9911 :
alpha1 =4.5936-1.4428cdot0.99113.1473 approx1.0051
  1. Substituímos de volta na primeira para achar :

Resposta

boxedalpha1approx1.0051, alpha2approx0.9911

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