Considere a tabela a seguir:
x | -3 | -1 | 0 | 2 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
y | 8 | 3 | -2 | -3 | 2 |
:— | :— | :— | :— | :— | :— |
Encontre
que ajusta (regressão) todos os pontos da tabela. Depois calcule
e o erro neste ponto. Estime o valor de
(3).
Passo 1
Beleza! A questão é de regressão polinomial (ajuste pelo método dos mínimos quadrados). Você tem 5 pontos
e quer achar um polinômio de grau 2
que “melhor” se ajusta a todos eles. Para isso vamos:
- montar as equações normais (derivadas parciais igual a zero)
- resolver esse sistema para achar
- calcular
, comparar com o valor real e chamar essa diferença de erro - estimar
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as somas necessárias:
Passo 3
As equações normais ficam:
Substituindo os números:
Passo 4
Agora basta resolver esse sistema. Uma forma prática é isolar
a = 8 - 3b - 39c5 da primeira equação e substituir nas outras duas.
- Da primeira:
- Substituindo em (2) e (3) e arrumando, obtemos um sistema em
:b approx -1,767, capprox0,465
Resolvendo (por eliminação ou substituição) dá aproximadamente
- Voltando em
:
Então
Passo 5
(a) Calculando em
P2(-1)approx -0,968 -1,767cdot(-1)+0,465cdot1 approx 1,264 :
Como o valor real na tabela é
, o erro (diferença) é
Passo 6
(b) Estimando em
P2(3)approx -0,968 -1,767cdot3 +0,465cdot9 approx -2,084 :
Resposta
P_2(x) ≈ −0,968 − 1,767 x + 0,465 x²
P_2(−1) ≈ 1,264, erro ≈ 1,736
P_2(3) ≈ −2,084
P_2(−1) ≈ 1,264, erro ≈ 1,736
P_2(3) ≈ −2,084