Considere a tabela a seguir:
x -3 -1 0 2 5
y 8 3 -2 -3 2
:— :— :— :— :— :—
Encontre P2(x) que ajusta (regressão) todos os pontos da tabela. Depois calcule P2(-1) e o erro neste ponto. Estime o valor de P2 (3).

Passo 1

Beleza! A questão é de regressão polinomial (ajuste pelo método dos mínimos quadrados). Você tem 5 pontos P2(x)=a + b,x + c,x^2 e quer achar um polinômio de grau 2
que “melhor” se ajusta a todos eles. Para isso vamos:
  1. montar as equações normais (derivadas parciais igual a zero)
  2. resolver esse sistema para achar
  3. calcular , comparar com o valor real e chamar essa diferença de erro
  4. estimar .

Passo 2

Primeiro, calculamos as somas necessárias:
n&=5, sum xi&=-3-1+0+2+5=3, sum yi&=8+3-2-3+2=8, sum xi^2&=9+1+0+4+25=39, sum xi^3&=-27-1+0+8+125=105, sum xi^4&=81+1+0+16+625=723, sum xi yi&=(-3)cdot8+(-1)cdot3+0cdot(-2)+2cdot(-3)+5cdot2=-23, sum xi^2yi&=9cdot8+1cdot3+0cdot(-2)+4cdot(-3)+25cdot2=113

Passo 3

As equações normais ficam:
5a + ( sum xi ),b + (sum xi^2),c = sum yi, (sum xi),a + (sum xi^2),b + (sum xi^3),c = sum xi yi, (sum xi^2),a + (sum xi^3),b + (sum xi^4),c = sum xi^2yi
Substituindo os números:
5a + 3b + 39c = 8, 3a + 39b +105c = -23, 39a +105b +723c =113

Passo 4

Agora basta resolver esse sistema. Uma forma prática é isolar a = 8 - 3b - 39c5 da primeira equação e substituir nas outras duas.
  1. Da primeira:
37,2,b + 81,6,c = -27,8, 81,6,b +418,8,c = 50,6
  1. Substituindo em (2) e (3) e arrumando, obtemos um sistema em b approx -1,767, capprox0,465 :
a approx 1,6 -0,6,b -7,8,c approx -0,968
Resolvendo (por eliminação ou substituição) dá aproximadamente
P2(x)approx -0,968;-;1,767,x;+;0,465,x^2
  1. Voltando em :
Então

Passo 5

(a) Calculando em P2(-1)approx -0,968 -1,767cdot(-1)+0,465cdot1 approx 1,264 :
erro = y(-1)-P2(-1)approx 3 - 1,264 = 1,736
Como o valor real na tabela é , o erro (diferença) é

Passo 6

(b) Estimando em P2(3)approx -0,968 -1,767cdot3 +0,465cdot9 approx -2,084 :

Resposta

P_2(x) ≈ −0,968 − 1,767 x + 0,465 x²
P_2(−1) ≈ 1,264, erro ≈ 1,736
P_2(3) ≈ −2,084

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