Resolva I=integral-3^5 12 x^2+4 x-2 d x usando o método da quadratura com 2 pontos.

Passo 1

Então, temos o exercício de calcular a integral definida usando o método da quadratura com 2 pontos. Vamos precisar entender como funciona a quadratura de Gauss, que é uma técnica numérica para aproximar integrais definidas. Para isso, vamos seguir alguns passos para aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de integração: de x1 = -1raiz3, x2 = 1raiz3 até w1 = w2 = 1 . O método da quadratura de Gauss com 2 pontos usa pontos e pesos específicos para calcular a aproximação da integral. Para 2 pontos, os pontos padrão ( ) e os pesos ( ) no intervalo são:

Passo 3

Como nossos limites de integração não são x = b - a2 t + b + a2 , precisamos fazer uma mudança de variável para ajustar o intervalo. Vamos usar a substituição:
I = b - a2 sumi=1^2 wi cdot f( b - a2 xi + b + a2 )
onde varia de a . Isso nos permite reescrever a integral em termos de :

Passo 4

Vamos substituir os valores de I = 5 - (-3)2 [ 1 cdot f( 82 cdot (-1raiz3) + 1 ) + 1 cdot f( 82 cdot 1raiz3 + 1 ) ] , I = 4 [ f( -4raiz3 + 1 ) + f( 4raiz3 + 1 ) ] , e na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos os argumentos das funções:
x1' = -4raiz3 + 1 approx -41.732 + 1 approx -2.309 + 1 = -1.309
x2' = 4raiz3 + 1 approx 41.732 + 1 approx 2.309 + 1 = 3.309

Passo 6

Vamos calcular f(-1.309) = 12 (-1.309)^2 + 4(-1.309) - 2 approx 12(1.713) - 5.236 - 2 approx 0.856 - 5.236 - 2 = -6.38 nesses pontos, onde f(3.309) = 12 (3.309)^2 + 4(3.309) - 2 approx 12(10.95) + 13.236 - 2 approx 5.475 + 13.236 - 2 = 16.711 :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, somamos os valores de I approx 4 [ -6.38 + 16.711 ] = 4 times 10.331 = 41.324 e multiplicamos pelo fator que calculamos antes:

Resposta

A integral aproximada usando o método da quadratura com 2 pontos é .

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