Determine os autovalores e as autofunções do seguinte problema de contorno:
l x^2 y^prime prime-x y^prime+lambda y=0 y(1)=0 y(L)=0,(L>1)
Por tratar-se de uma equação de Cauchy-Euler, você deverá seguir a seguintes etapas:
  1. Fazer a mudança de variável x=e^z, e obter o seguinte problema de contorno para y(z) :
l d^2 yd z^2-2 d yd z+lambda y=0 y(0)=0 y(ln L)=0, (ln L>0)
  1. Escrever a solução geral da equação diferencial para y(z), e identificar a existência de 3 casos, a saber:
ll 1^circ caso: & 1-lambda>0 2^circ caso: & 1-lambda<0 3^circ caso: & 1-lambda=0
  1. Fazer a análise para cada um dos 3 casos, e obter os autovalores lambda e as autofunções y(z) do problema de contorno para y(z).
  2. Voltar para as variáveis originais, para determinar os autovalores lambda e as autofunções y(x) do problema de contorno dado, para y(x).

Passo 1

Beleza, temos um problema de contorno tipo Euler–Cauchy
x^2y''(x)-x,y'(x)+lambda,y(x)=0,, 1<= x<= L, y(1)=0, y(L)=0,,;L>1
Conteúdo: equações de Euler–Cauchy e problemas de autovalor.
O que vamos precisar:
  1. Trocar para simplificar a equação.
  2. Resolver a EDO resultante em .
  3. Aplicar condições de contorno para achar .
  4. Voltar para .

Passo 2

Fazendo dydx=1xdydz, d^2ydx^2=1x^2l(d^2ydz^2-dydzr) (logo x^2l(tfrac1x^2(yzz-yz)r) -xl(tfrac1xyzr)+lambda y ;=;yzz-yz -yz+lambda y ;=;yzz-2yz+lambda y=0 , e y''(z)-2y'(z)+lambda y(z)=0, y(0)=0, y(ln L)=0 ), usamos:
Substituindo na EDO em :
Então o BVP vira

Passo 3

Agora a gente resolve a EDO homogênea
y''-2y'+lambda y=0
via equação característica
r^2-2r+lambda=0 Longrightarrow r=1pmraiz1-lambda
Dependendo do sinal de , surgem três casos:
  1. : raízes reais e distintas, , .
  2. : raízes complexas , .
  3. : raiz dupla .
Em cada caso a solução geral é:
  • Caso 1:
  • Caso 2:
  • Caso 3:

Passo 4

Vamos aplicar y(z)=C1l(e^(1+alpha)z-e^(1-alpha)zr) e C1l(L^,1+alpha-L^,1-alphar)=0 em cada caso:
  1. y(z)=B,e^zsin(mu z) .
    y(ln L)=B,L,sinl(muln Lr)=0 ;Longrightarrow; sinl(muln Lr)=0
    Então
mu=npiln L, lambdan=1+mu^2 =1+l(tfracnpiln Lr)^2
Em yn(z)=e^zsin!l(tfracnpiln Lzr) :
Como e , isso só dá trivial ( ).
Logo nenhum autovalor aqui.
  1. ( ).
    .
    Em : , sobra .
    Em : .
    Só trivial de novo.
  2. .
    Defina .

    Em : .
    Sobrou
Em :
Para não ficar trivial ( ),
, .
Logo
E a autofunção em é

Passo 5

Volta pra variável original yn(x)=x;sin!l(tfracnpiln Lln xr), n=1,2,dots :
lambdan=1+l(tfracnpiln Lr)^2 , .
Então a autofunção vira
e os autovalores são

Resposta

Autovalores:
boxedlambdan =1+l(tfracnpiln Lr)^2, n=1,2,dots
Autofunções (até constante multiplicativa):
boxedyn(x) =x,sin!l(tfracnpiln Lln xr), n=1,2,dots

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