Determine os autovalores e as autofunções do seguinte problema de contorno:
Por tratar-se de uma equação de Cauchy-Euler, você deverá seguir a seguintes etapas:
- Fazer a mudança de variável
x=e^z , e obter o seguinte problema de contorno para
y(z) :
l d^2 yd z^2-2 d yd z+lambda y=0 y(0)=0 y(ln L)=0, (ln L>0)
- Escrever a solução geral da equação diferencial para
y(z) , e identificar a existência de 3 casos, a saber:
ll 1^circ caso: & 1-lambda>0 2^circ caso: & 1-lambda<0 3^circ caso: & 1-lambda=0
- Fazer a análise para cada um dos 3 casos, e obter os autovalores
lambda e as autofunções
y(z) do problema de contorno para
y(z) .
- Voltar para as variáveis originais, para determinar os autovalores
lambda e as autofunções
y(x) do problema de contorno dado, para
y(x) .
Passo 1
Beleza, temos um problema de contorno tipo Euler–Cauchy
Conteúdo: equações de Euler–Cauchy e problemas de autovalor.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Trocar
para simplificar a equação. - Resolver a EDO resultante em
. - Aplicar condições de contorno para achar
. - Voltar para
.
Passo 2
Fazendo
dydx=1xdydz, d^2ydx^2=1x^2l(d^2ydz^2-dydzr) (logo
x^2l(tfrac1x^2(yzz-yz)r) -xl(tfrac1xyzr)+lambda y ;=;yzz-yz -yz+lambda y ;=;yzz-2yz+lambda y=0 , e
y''(z)-2y'(z)+lambda y(z)=0, y(0)=0, y(ln L)=0 ), usamos:
Substituindo na EDO em
:
Então o BVP vira
Passo 3
Agora a gente resolve a EDO homogênea
via equação característica
Dependendo do sinal de
, surgem três casos:
-
: raízes reais e distintas, , . -
: raízes complexas , . -
: raiz dupla .
Em cada caso a solução geral é:
- Caso 1:
- Caso 2:
- Caso 3:
Passo 4
Vamos aplicar
y(z)=C1l(e^(1+alpha)z-e^(1-alpha)zr) e
C1l(L^,1+alpha-L^,1-alphar)=0 em cada caso:
-
.y(z)=B,e^zsin(mu z)
y(ln L)=B,L,sinl(muln Lr)=0 ;Longrightarrow; sinl(muln Lr)=0
Então
Em
yn(z)=e^zsin!l(tfracnpiln Lzr) :
Como
e
, isso só dá trivial (
).
Logo nenhum autovalor aqui.
Logo nenhum autovalor aqui.
-
( ).
.
Em : , sobra .
Em : .
Só trivial de novo. -
.
Defina .
Em : .
Sobrou
Em
:
Para não ficar trivial (
),
,
.
Logo
Logo
E a autofunção em
é
Passo 5
Volta pra variável original
yn(x)=x;sin!l(tfracnpiln Lln xr), n=1,2,dots :
lambdan=1+l(tfracnpiln Lr)^2 ,
.
Então a autofunção vira
Então a autofunção vira
e os autovalores são
Resposta
Autovalores:
Autofunções (até constante multiplicativa):