Calcular pelo o menos uma raiz real das equações, abaixo com epsilon <= 10^-3, usando o método de Newton também chamado de método de Pégaso.
f(x)=x^3-5 x^2+x+3=0

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente calcular pelo menos uma raiz real da função
f(x)=x^3-5x^2+x+3=0
usando o método de Newton (também chamado de Pégaso), com precisão xn+1=xn - f(xn)f'(xn) .
Conteúdo: derivada de funções e iteração de Newton.
O que precisamos:
  1. e sua derivada .
  2. Fórmula de Newton:
  1. Critério de parada: .

Passo 2

Primeiro a gente monta f(x)=x^3-5x^2+x+3, f'(x)=3x^2-10x+1 e :
Escolhi um chute inicial (às vezes basta um valor razoável perto da raiz).

Passo 3

Calculando f(x0)=f(1,5)=1,5^3-5cdot1,5^2+1,5+3=-3,375, f'(1,5)=3cdot1,5^2-10cdot1,5+1=-7,25 :
x1 = 1,5 - -3,375-7,25 =1,5 - 0,4655 approx1,0345
Aplicando Newton:

Passo 4

Agora f(1,0345)approx -0,2075, f'(1,0345)approx -6,138 :
x2 = 1,0345 - -0,2075-6,138 =1,0345 - 0,0338 approx1,0007
Diferença , então vamos a mais uma iteração.

Passo 5

Calculando f(1,0007)approx -0,0030, f'(1,0007)approx -6,005 :
x3 = 1,0007 - -0,0030-6,005 =1,0007 - 0,0005 approx1,0002
Agora , beleza! Critério de parada satisfeito.

Resposta

Uma aproximação da raiz real (com boxedxapprox1,0002 ) é

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