Considere a tabela x 1 4 6
f(x) 0 1 5
a) Calcule o polinômio interpolador usando a Sistemas lineares
b) Assinale a alternativa que apresenta o valor aproximado de f(5) :
A) f(5)=4,0.
B) f(5)=3,9.
C) f(5)=2,6.
D) f(5)=1,4.
E) f(5)=1,1.

Passo 1

Beleza, o que o exercício tá pedindo é: a gente tem três pontos (1,0), (4,1) e (6,5) e quer achar o polinômio de grau 2 que passe por eles, usando sistema linear. Depois, com esse polinômio, a gente calcula e escolhe a alternativa certa.
Conteúdo usado: interpolação por polinômio (grau 2) + resolução de sistema linear por eliminação. Você vai precisar saber montar um sistema de três equações com três incógnitas e resolvê-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, definimos o polinômio genérico de grau 2:
p(x)=ax^2+bx+c
Como ele deve passar por cada ponto p(1)=acdot1^2+bcdot1+c=0, p(4)=acdot4^2+bcdot4+c=1, p(6)=acdot6^2+bcdot6+c=5 , montamos:
a+b+c=0, 16a+4b+c=1, 36a+6b+c=5
Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos eliminar 15a+3b=1Rightarrow5a+b=tfrac13, 20a+2b=4Rightarrow10a+b=2 subtraindo a primeira eq. das outras duas:
  1. 5a+(2-10a)=tfrac13 Rightarrow -5a+2=tfrac13 Rightarrow -5a=tfrac13-2=-tfrac53 Rightarrow a=tfrac13 b=2-10cdottfrac13=2-tfrac103=-tfrac43 .
  2. tfrac13-tfrac43+c=0 Rightarrow -!1+c=0 Rightarrow c=1 .
    Simplificando cada uma:
Agora tiramos : da segunda, . Substituindo na primeira:
Logo
E de :

Passo 4

Nosso polinômio é
p(x)=tfrac13x^2-tfrac43x+1
Agora calcula p(5)=tfrac13cdot25-tfrac43cdot5+1 = tfrac253-tfrac203+1 = tfrac53+1 = tfrac83approx2,67 :
Das opções, o valor mais perto de é , que corresponde à letra C.

Resposta

O polinômio é e . Alternativa C.

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