Considerando a função f(x)=sen(x)+cos (x), temos a seguinte tabela dos valores de f(x) no intervalo [0, pi]. ((use 4 casas decimais em todos os itens))
x 0 pi2 pi
f(x) 1 1 -1
a) Calcule o polinômio p(x) que aproxima a função f(x) neste intervalo.
b) Calcule p(0,5) e f(0,5)
c) Sabendo que o erro é dado por E(x)=|p(x)-f(x)|, calcule E(0,5).
d) Lembrando que a integral de Newton Cotes IN C=integral0^pi p(x) d x, calcule IN C para um valor aproximado de integral0^pi f(x) d x
e) Utilizando o Cálculo I, sabemos que integral0^pi f(x) d x=2, qual o valor do erro obtido pela aproximação dada no item (d)?

Passo 1

Então, o enunciado quer que a gente pegue a função

no intervalo , e use só os valores em para:
a) montar um polinômio que passe por esses três pontos (interpolação);
b) avaliar e ;
c) achar o erro ;
d) integrar de 0 a (fórmula de Newton–Cotes) para aproximar ;
e) comparar com o valor exato e dar o erro da aproximação.
Conteúdo: interpolação de Lagrange (ou forma polinomial), noções de integração de polinômio e cálculo de erro. A gente vai detalhar cada pedacinho sem pular nada.

Passo 2

(a) Montando o polinômio de grau 2 por Lagrange:
Usamos a forma
p(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x),
onde os nós são Li(x)=prodjneq ix-xjxi-xj , boxedp(x)=1+2pi,x;-;4pi^2,x^2 , p(x)approx1+0,6366,x-0,4053,x^2 .
Os polinômios básicos têm a forma
Fazendo as contas (detalhe: expanda e simplifique), chega-se a
Em valores aproximados ( ):

Passo 3

(b) Avaliando em p(0,5)=1+0,6366cdot0,5-0,4053cdot(0,5)^2 approx1,2170 :
f(0,5)approx0,4794+0,8776=1,3570
Para , calculamos:

Passo 4

© Erro em E(0.5)=l|p(0.5)-f(0.5)r| approx|1,2170-1,3570| =0,1400 :

Passo 5

(d) Integral de Newton–Cotes (aí basta integrar o polinômio):
INC=integral0^pi p(x),dx =integral0^pil[1+2pix-4pi^2x^2r]dx =2pi3approx2,0944

Passo 6

(e) Sabendo que |INC-2| =|2,0944-2| =0,0944 , o erro da aproximação é

Resposta

a) (ou ).
b) , .
c) .
d) .
e) Erro da integral .

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