Considerando a função , temos a seguinte tabela dos valores de no intervalo . ((use 4 casas decimais em todos os itens))
0
1
1
-1
a) Calcule o polinômio que aproxima a função neste intervalo.
b) Calcule e
c) Sabendo que o erro é dado por , calcule .
d) Lembrando que a integral de Newton Cotes , calcule para um valor aproximado de
e) Utilizando o Cálculo I, sabemos que , qual o valor do erro obtido pela aproximação dada no item (d)?
Passo 1
Então, o enunciado quer que a gente pegue a função
no intervalo , e use só os valores em para:
a) montar um polinômio que passe por esses três pontos (interpolação);
b) avaliar e ;
c) achar o erro ;
d) integrar de 0 a (fórmula de Newton–Cotes) para aproximar ;
e) comparar com o valor exato e dar o erro da aproximação.
Conteúdo: interpolação de Lagrange (ou forma polinomial), noções de integração de polinômio e cálculo de erro. A gente vai detalhar cada pedacinho sem pular nada.
Passo 2
(a) Montando o polinômio de grau 2 por Lagrange:
Usamos a forma
onde os nós são , , .
Os polinômios básicos têm a forma
Fazendo as contas (detalhe: expanda e simplifique), chega-se a