Considere a tabela:
x y
2,0 11,2
4,0 9,6
6,0 7,4
8,0 8,5
Encontre um polinômio que passa pelos pontos dados.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar um polinômio que passe exatamente pelos quatro pontos
(2,,11.2),;(4,,9.6),;(6,,7.4),;(8,,8.5)
Conteúdo: interpolação polinomial, mais especificamente fórmula de Lagrange.
O que vamos usar: a ideia de construir bases P(x)=sumi=0^3 yi,Li(x) que valem 1 no ponto e 0 nos outros , daí montar

Passo 2

Primeiro, rotulamos os pontos:
Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^3x - xjxi - xj, , P(x)=sumi=0^3yi,Li(x) , , .
A fórmula de Lagrange diz
e então

Passo 3

Vamos escrever cada L0(x) =(x-4)(x-6)(x-8)(2-4)(2-6)(2-8) =(x-4)(x-6)(x-8)-48 =-148(x-4)(x-6)(x-8) :
  1. Para L1(x) =(x-2)(x-6)(x-8)(4-2)(4-6)(4-8) =(x-2)(x-6)(x-8)16 =tfrac116(x-2)(x-6)(x-8) (ou seja, L2(x) =(x-2)(x-4)(x-8)(6-2)(6-4)(6-8) =(x-2)(x-4)(x-8)-16 =-tfrac116(x-2)(x-4)(x-8) ):
L3(x) =(x-2)(x-4)(x-6)(8-2)(8-4)(8-6) =(x-2)(x-4)(x-6)48 =tfrac148(x-2)(x-4)(x-6)
  1. Para ( ):
  1. Para ( ):
  1. Para ( ):

Passo 4

Agora montamos
P(x) =11.2,L0(x)+9.6,L1(x)+7.4,L2(x)+8.5,L3(x)
Substituindo cada P(x) =0.08125,x^3 ;-;1.05,x^2;+;3.225,x;+;8.3 e fazendo a soma, após expandir e agrupar termos em , chegamos a:

Resposta

boxedP(x)=0.08125,x^3 - 1.05,x^2 + 3.225,x + 8.3

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