Questão 4. (20 pts) Considere a função
, definida no intervalo
. Responda:
- Explique por que o método da bisseção pode ser aplicado a
no intervalo
.
- Use a fórmula do erro absoluto do método da bisseção para determinar o número mínimo de iterações necessárias para
. Não é necessário calcular
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede duas coisas:
- Explicar por que o método da bisseção pode ser aplicado a
no intervalo . - Usar a fórmula do erro absoluto do método da bisseção para determinar o número mínimo de iterações necessárias para
.
Informações importantes dadas: a funçãoe o intervalo ; não é necessário calcular valores de além dos que usemos para justificar a aplicabilidade e o erro.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar propriedades básicas de
que são úteis para aplicar o teorema do valor intermediário e o método da bisseção.
A função é soma/diferença/composição de funções elementares contínuas:
é contínua e
também é contínua, logo sua diferença
é contínua em todo
, portanto em
. Vou calcular os valores nos extremos do intervalo (isso é permitido e não é um “cálculo pesado”):
A função
Numericamente,
, então
. Observe que
e
.
Passo 3
Agora uso o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função é contínua em
e
e
têm sinais opostos (isto é,
), então existe pelo menos uma raiz
tal que
.
Como mostrei no passo anterior, é contínua em
e
. Portanto existe pelo menos uma raiz em
. Essas duas condições (continuidade no intervalo fechado e mudança de sinal nos extremos) são exatamente as hipóteses que garantem que o método da bisseção pode ser aplicado. Conclusão: o método da bisseção pode ser aplicado a
em
.
Como mostrei no passo anterior,
Passo 4
Agora uma breve aula prática sobre o erro do método da bisseção (passo-a-passo para usar na prova):
- Começo com o intervalo inicial
. No nosso caso e , então . - A cada iteração o método divide o intervalo atual ao meio; após
iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é
- Se a aproximação escolhida em cada iteração for o ponto médio do intervalo atual (prática padrão), a distância entre essa aproximação
e a raiz verdadeira é no máximo metade do comprimento do intervalo atual. Portanto a cota de erro absoluto é
Essa desigualdade é a “fórmula do erro absoluto” do método da bisseção quando se usa o ponto médio como aproximação.
Passo 5
Agora aplico essa fórmula ao nosso caso com
. Quero o menor inteiro
tal que a cota de erro fique menor ou igual a
. Com
temos a condição
Multiplico em ambos os lados por
e por
para clarear, ou simplesmente resolvo por potências de dois:
Agora uso potências de dois conhecidas:
e
. Como
está entre
e
, é necessário ter
, isto é,
. Portanto o menor
inteiro que satisfaz a desigualdade é
Passo 6
Verificação rápida numérica (para ter segurança na prova): após
iterações a cota de erro é
que é menor que
. Com
teríamos
, que é maior que o
pedido. Logo
é realmente o mínimo.
Resposta
- Pode ser aplicado porque
é contínua em e (logo existe raiz em ). - Número mínimo de iterações:
.