Questão 4. (20 pts) Considere a função f(x)=e^{-x}-x, definida no intervalo [0,1]. Responda:
  1. Explique por que o método da bisseção pode ser aplicado a f(x) no intervalo [0,1].
  2. Use a fórmula do erro absoluto do método da bisseção para determinar o número mínimo de iterações necessárias para \varepsilon=0.5 \times 10^{-3}. Não é necessário calcular f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{-x}-x definida no intervalo [0,1] e pede duas coisas:
  1. Explicar por que o método da bisseção pode ser aplicado a f no intervalo [0,1].
  2. Usar a fórmula do erro absoluto do método da bisseção para determinar o número mínimo de iterações necessárias para \varepsilon=0,5\times10^{-3}.
    Informações importantes dadas: a função f e o intervalo [0,1]; não é necessário calcular valores de f(x) além dos que usemos para justificar a aplicabilidade e o erro.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar propriedades básicas de f que são úteis para aplicar o teorema do valor intermediário e o método da bisseção.
A função f é soma/diferença/composição de funções elementares contínuas: x\mapsto e^{-x} é contínua e x\mapsto x também é contínua, logo sua diferença f(x)=e^{-x}-x é contínua em todo \mathbb{R}, portanto em [0,1]. Vou calcular os valores nos extremos do intervalo (isso é permitido e não é um “cálculo pesado”):
f(0)=e^{0}-0=1, \qquad f(1)=e^{-1}-1.
Numericamente, \,e^{-1}\approx0,367879, então f(1)=e^{-1}-1\approx-0,632121. Observe que f(0)>0 e f(1)<0.

Passo 3

Agora uso o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (isto é, f(a)f(b)<0), então existe pelo menos uma raiz \xi\in(a,b) tal que f(\xi)=0.
Como mostrei no passo anterior, f é contínua em [0,1] e f(0)f(1)<0. Portanto existe pelo menos uma raiz em (0,1). Essas duas condições (continuidade no intervalo fechado e mudança de sinal nos extremos) são exatamente as hipóteses que garantem que o método da bisseção pode ser aplicado. Conclusão: o método da bisseção pode ser aplicado a f em [0,1].

Passo 4

Agora uma breve aula prática sobre o erro do método da bisseção (passo-a-passo para usar na prova):
  • Começo com o intervalo inicial [a,b]. No nosso caso a=0 e b=1, então b-a=1.
  • A cada iteração o método divide o intervalo atual ao meio; após n iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é
\frac{b-a}{2^n}.
  • Se a aproximação escolhida em cada iteração for o ponto médio do intervalo atual (prática padrão), a distância entre essa aproximação x_n e a raiz verdadeira \xi é no máximo metade do comprimento do intervalo atual. Portanto a cota de erro absoluto é
|x_n-\xi| \le \frac{1}{2}\cdot\frac{b-a}{2^n} = \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Essa desigualdade é a “fórmula do erro absoluto” do método da bisseção quando se usa o ponto médio como aproximação.

Passo 5

Agora aplico essa fórmula ao nosso caso com \varepsilon=0,5\times10^{-3}. Quero o menor inteiro n tal que a cota de erro fique menor ou igual a \varepsilon. Com b-a=1 temos a condição
\frac{1}{2^{n+1}} \le 0,5\times10^{-3} = 5\times10^{-4}.
Multiplico em ambos os lados por 2^{n+1} e por 10^{4} para clarear, ou simplesmente resolvo por potências de dois:
2^{n+1} \ge \frac{1}{5\times10^{-4}} = 2000.
Agora uso potências de dois conhecidas: 2^{10}=1024 e 2^{11}=2048. Como 2000 está entre 2^{10} e 2^{11}, é necessário ter 2^{n+1}\ge2048, isto é, n+1\ge11. Portanto o menor n inteiro que satisfaz a desigualdade é
n=10.

Passo 6

Verificação rápida numérica (para ter segurança na prova): após n=10 iterações a cota de erro é
\frac{1}{2^{10+1}}=\frac{1}{2048}\approx0,48828125\times10^{-3},
que é menor que 0,5\times10^{-3}. Com n=9 teríamos 1/2^{10}=1/1024\approx0,9766\times10^{-3}, que é maior que o \varepsilon pedido. Logo n=10 é realmente o mínimo.

Resposta

  1. Pode ser aplicado porque f(x)=e^{-x}-x é contínua em [0,1] e f(0)f(1)<0 (logo existe raiz em (0,1)).
  2. Número mínimo de iterações: n=10.

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