Considere a transformação linear f: R^2 R^3, tal que f(1,2)=(2,1,1) e f(1,-1)=(-1,-2,1). Qual é o vetor v in R^2 tal que f(v)=(7,4,3) ?
a) (-1,7)
b) (3,7)
c) (7,-1)
d) (7,3)

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos uma transformação linear
f:R^2toR^3
que satisfaz
f(1,2)=(2,1,1) e f(1,-1)=(-1,-2,1)
A missão é encontrar um vetor f(v)=(7,4,3) tal que
Conteúdo: transformações lineares, combinação linear de vetores e solução de sistema linear. Vamos usar a linearidade de e escrever como combinação dos vetores cujas imagens a gente conhece.

Passo 2

Primeiro, note que os vetores v = a,u + b,w Longrightarrow v = a,(1,2) + b,(1,-1) e são independentes em (determinante não nulo), então qualquer pode ser escrito como
para certos escalares . Isso é combinação linear: estamos usando uma base alternativa (não precisa ser a canônica) pois e formam base de .

Passo 3

Pela linearidade de f(v) = fl(a,u + b,wr) = a,f(u) + b,f(w) = a,(2,1,1) + b,(-1,-2,1) , temos
f(v) = (,2a - b,;a -2b,;a + b,)
Somando coordenada a coordenada:
2a - b = 7, a - 2b = 4, a + b = 3
Queremos isso igual a , então montamos o sistema

Passo 4

Vamos resolver: da terceira equação 2a - (3-a)=7 ;Longrightarrow; 2a -3 + a=7 ;Longrightarrow; 3a=10 ;Longrightarrow; a=tfrac103 vem a -2b = tfrac103 -2l(-tfrac13r) = tfrac103 + tfrac23 = tfrac123=4 .
Substituindo em :
Então .
Você pode checar rapidinho na segunda equação e vai dar certinho:

Passo 5

Agora voltamos ao v = tfrac103(1,2) + l(-tfrac13r)(1,-1) = l(tfrac103-tfrac13,;2cdottfrac103 + tfrac13r) = l(3,7r) .

Resposta

(alternativa b) )

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