Considere os três polinômios p(x)=2 x^3-3 x^2-3 x+2, q(x)=x^2+a, com a in R e r(x)=x^n- 1 , com n in N^* e analise as afirmativas abaixo:
I. O polinômio p(x) é divisível por x-2.
II. O resto da divisão de p(x) por (x+2) é igual a -20 .
III. Se a=1, então q(x) é divisível por (x+a).
IV. O resto da divisão de r(x) por (x+1) é igual a 0 se n é ímpar.
Estão corretas apenas as afirmativas:

Passo 1

Beleza, o exercício tá na parte de divisão de polinômios, mais especificamente no Teorema do Resto. A ideia é: quando você divide um polinômio por , o resto é exatamente .
O que a gente precisa fazer:
  1. Calcular pra ver se divide .
  2. Calcular pra achar o resto de dividido por .
  3. Verificar, no caso , se divide .
  4. Calcular pra ver o resto de dividido por e checar se isso zera quando é ímpar.

Passo 2

I. Queremos saber se p(2)=2cdot2^3 ;-;3cdot2^2;-;3cdot2;+;2 =2cdot8-3cdot4-6+2 =16-12-6+2 =0 divide . Pelo Teorema do Resto, basta avaliar :
Como deu zero, o resto é zero e, portanto, divide . Afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

II. Resto de p(-2)=2cdot(-2)^3 -3cdot(-2)^2 -3cdot(-2) +2 =2cdot(-8) -3cdot4 +6 +2 =-16 -12 +6 +2 =-20 por é . Vamos calcular:
Isso bate com o enunciado. Afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

III. Para q(-1)=(-1)^2+1=1+1=2neq0 e , temos . Se quisermos que divida , o resto é :
Não zera, logo não divide . Afirmativa III é falsa.

Passo 5

IV. Para , o resto de dividir por é .
  • Se for ímpar, , daí .
  • Se for par, , daí .
O enunciado dizia que o resto é zero quando é ímpar, mas na real isso só ocorre quando é par. Afirmativa IV é falsa.

Resposta

Apenas as afirmativas I e II estão corretas.

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