A expansão binomial é uma ferramenta importante no estudo da álgebra, pode ser utilizada para simplificar cálculos ou para compreender relações entre variáveis de uma função. Ao expandir um binômio elevado a uma potência inteira e positiva identifica-se um polinômio que pode ser analisado para determinar o valor de coeficientes específicos. O desenvolvimento da potência (x^2-2)^10, por exemplo, resulta em polinômio na variável x.
O coeficiente de x^2 no polinômio obtido por meio do desenvolvimento indicado é igual a

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o coeficiente de (a + b)^n = sumk=0^n binomnk,a^,n-k,b^,k no polinômio que a gente obtém ao expandir . O assunto aqui é o Teorema Binomial e vamos precisar usar a fórmula
para identificar qual termo entrega e, daí, achar o coeficiente.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial,
(x^2 - 2)^10 = sumk=0^10 binom10k ,(x^2)^10-k ,(-2)^k
Cada somatório aqui é um termo com grau em igual a .

Passo 3

Queremos o termo onde o expoente de 2,(10 - k) = 2 seja 2, ou seja:
10 - k = 1 Longrightarrow k = 9
Isso dá

Passo 4

Substituindo binom109,(-2)^9 no termo geral, o coeficiente é
Lembra que .

Passo 5

Agora é só calcular:
(-2)^9 = -512 e 10 times (-512) = -5120

Resposta

O coeficiente de em é .

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