Para
no problema no qual
determine
para
utilizando passo de tempo igual a 0,5 e o método de Heun na sua versão iterativa (índice
indo até 2). Aponte duas formas de melhorar os resultados.
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos uma EDO simples
com condição inicial
. Queremos aproximar
usando o método de Heun iterativo (aquele predictor-corrector de segunda ordem), com passo
e fazendo duas correções (índice
vai até 2).
Conteúdo: numérico para EDO, método de Heun, derivadas e “slope” (inclinação). Vamos precisar da definição de derivada e das fórmulas de Heun (preditor e corretor).
Conteúdo: numérico para EDO, método de Heun, derivadas e “slope” (inclinação). Vamos precisar da definição de derivada
Passo 2
Primeiro, bora lembrar o que é o método de Heun iterativo:
- Preditor (Euler explícito):
- Corretor (média de inclinações), mas aqui vamos iterar duas vezes:
com
.
Aqui ,
e
. A derivada é
.
Aqui
Passo 3
Calcular o preditor
:
Agora a primeira iteração (
):
- Avalio
- Corretor:
Passo 4
Segunda iteração (
):
- Primeiro
- Corretor de novo:
Esse
é a nossa aproximação final em
.
Passo 5
Peeensa que o erro vem do tamanho do passo e de só termos duas iterações. Duas formas de melhorar isso:
- Diminuir o passo
(por exemplo usar ou menor). - Aumentar o número de correções
no método de Heun (ou usar um método de ordem ainda maior, tipo RK4).
Resposta
Duas formas de melhorar:
- usar passo menor
, - aumentar as iterações do corretor (ou migrar para um método de ordem superior, tipo Runge–Kutta 4).