Para t=0, f=1 no problema no qual
d fd t=-2 f+t^2
determine f para t=0,5 utilizando passo de tempo igual a 0,5 e o método de Heun na sua versão iterativa (índice j indo até 2). Aponte duas formas de melhorar os resultados.

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos uma EDO simples
dfdt = -2,f + t^2,
com condição inicial . Queremos aproximar usando o método de Heun iterativo (aquele predictor-corrector de segunda ordem), com passo e fazendo duas correções (índice vai até 2).
Conteúdo: numérico para EDO, método de Heun, derivadas e “slope” (inclinação). Vamos precisar da definição de derivada e das fórmulas de Heun (preditor e corretor).

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é o método de Heun iterativo:
  1. Preditor (Euler explícito):
fpred = fn + h,f'(tn,fn)
  1. Corretor (média de inclinações), mas aqui vamos iterar duas vezes:
f^(j+1) = fn ;+;h2l(f'(tn,fn)+f'l(tn+1,,f^(j)r)r),
com .
Aqui , e . A derivada é .

Passo 3

Calcular o preditor fpred=f0 + h,f'(t0,f0) =1 + 0.5l(-2cdot1 + 0^2r) =1 + 0.5cdot(-2) =0 :
f^(1) = 1 + 0.52l((-2cdot1+0)+0.25r) =1 + 0.25l(-2 + 0.25r) =1 + 0.25cdot(-1.75) =1 - 0.4375 =0.5625
Agora a primeira iteração ( ):
  1. Avalio
  2. Corretor:

Passo 4

Segunda iteração ( f^(2) = 1 + 0.25l((-2)+(-0.875)r) =1 + 0.25cdot(-2.875) =1 - 0.71875 =0.28125 ):
  1. Primeiro
  2. Corretor de novo:
Esse é a nossa aproximação final em .

Passo 5

Peeensa que o erro vem do tamanho do passo e de só termos duas iterações. Duas formas de melhorar isso:
  1. Diminuir o passo (por exemplo usar ou menor).
  2. Aumentar o número de correções no método de Heun (ou usar um método de ordem ainda maior, tipo RK4).

Resposta

.
Duas formas de melhorar:
  1. usar passo menor ,
  2. aumentar as iterações do corretor (ou migrar para um método de ordem superior, tipo Runge–Kutta 4).

Exercícios relacionados