Considere os valores de (x ; f(x)) dados por (-2 ; 16),(-1 ; 0),(0 ; 2),(1 ;-2),(2 ; 12).
Utilize a forma de Newton para obter f(1,5) usando um polinômio de grau 2 e encontre uma estimativa para o erro, isto é, calcule |E(1,5)|.

Passo 1

O enunciado dá os pontos (-2 ; 16),(-1 ; 0),(0 ; 2),(1 ;-2),(2 ; 12) e pede duas coisas: (i) aproximar f(1,5) usando um polinômio de grau 2 na forma de Newton; (ii) estimar o erro absoluto |E(1,5)|.
Informações relevantes que temos: os pares (x_i,f(x_i)) são
(-2,16),\;(-1,0),\;(0,2),\;(1,-2),\;(2,12).
Nenhuma outra informação sobre f é dada (por ex. derivadas), então usaremos os pontos disponíveis para construir o polinômio quadrático e para estimar a derivada de ordem 3 necessária na estimativa do erro.

Passo 2

Escolha dos nós para o polinômio quadrático: como queremos f(1,5) (isto é, x=1,5), é conveniente usar três nós próximos para reduzir o erro. Vou escolher os nós
x_0=0,\quad x_1=1,\quad x_2=2
com valores
f(0)=2,\quad f(1)=-2,\quad f(2)=12,
que estão todos fornecidos. A forma de Newton para o polinômio interpolador de grau 2 com esses nós é
P_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1),
onde f[\cdot] denota diferenças divididas — vou explicar e calcular a seguir.

Passo 3

O que são diferenças divididas e como calculei as primeiras?
  • A diferença dividida de ordem zero é só o valor: f[x_i]=f(x_i).
  • A diferença dividida de ordem um é
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i},
que é a inclinação da secante entre x_i e x_j.
Calculemos as diferenças divididas necessárias para os nós 0,1,2:
f[0]=f(0)=2,\qquad f[1]=f(1)=-2,\qquad f[2]=f(2)=12.
As diferenças de primeira ordem:
f[0,1]=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{-2-2}{1}=-4,
f[1,2]=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{12-(-2)}{1}=14.

Passo 4

Diferença dividida de segunda ordem (usamos os valores anteriores):
f[0,1,2]=\frac{f[1,2]-f[0,1]}{2-0}=\frac{14-(-4)}{2}=\frac{18}{2}=9.
Portanto os coeficientes da forma de Newton são f[0]=2, f[0,1]=-4, f[0,1,2]=9.

Passo 5

Escrevendo o polinômio de Newton e simplificando para forma padrão:
P_2(x)=2-4(x-0)+9(x-0)(x-1).
Expandindo:
P_2(x)=2-4x+9x(x-1)=2-4x+9x^2-9x=9x^2-13x+2.
Esse é o polinômio quadrático interpolador pelos pontos x=0,1,2.

Passo 6

Avaliação em x=1,5 (vou usar a fração \tfrac{3}{2} para ser exato nos passos):
x=1,5=\tfrac{3}{2}.
Avaliar P_2:
P_2\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=9\left(\tfrac{3}{2}\right)^2-13\left(\tfrac{3}{2}\right)+2.
Calculemos passo a passo:
\left(\tfrac{3}{2}\right)^2=\tfrac{9}{4},\qquad 9\cdot\tfrac{9}{4}=\tfrac{81}{4}=20{,}25,
13\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{39}{2}=19{,}5.
Então
P_2(1,5)=20{,}25-19{,}5+2=0{,}75+2=2{,}75.
Logo a aproximação é f(1,5)\approx 2{,}75.

Passo 7

Agora a estimativa do erro. Fórmula do resto (forma de Newton / Lagrange para interpolação por grau 2): existe algum \xi no intervalo convexo que contém os nós e x tal que
E(x)=f(x)-P_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Aqui n=2 e aparece a derivada de ordem 3. Para estimar |E(1,5)| precisamos de uma estimativa para |f^{(3)}(t)| em algum intervalo contendo os nós usados e o ponto 1,5. Não conhecendo f explicitamente, podemos usar as diferenças divididas de ordem 3 calculadas a partir de quatro nós fornecidos para obter um valor representativo de f^{(3)}(\cdot)/3!.

Passo 8

Cálculo de uma diferença dividida de ordem 3 usando quatro nós disponíveis. Vou usar os nós -1,0,1,2 (estes quatro estão no conjunto dado e cobrem o intervalo onde está 1,5). Construo as diferenças já usadas antes e avanço:
Valores:
f(-1)=0,\quad f(0)=2,\quad f(1)=-2,\quad f(2)=12.
Diferenças de primeira ordem (algumas já calculadas):
f[-1,0]=\frac{2-0}{0-(-1)}=2,
f[0,1]=-4\quad(\text{já calculado}),á
f[1,2]=14\quad(\text{já calculado}).á
Diferenças de segunda ordem:
f[-1,0,1]=\frac{f[0,1]-f[-1,0]}{1-(-1)}=\frac{-4-2}{2}=-3,
f[0,1,2]=9\quad(\text{já calculado}).á
Diferença de terceira ordem:
f[-1,0,1,2]=\frac{f[0,1,2]-f[-1,0,1]}{2-(-1)}=\frac{9-(-3)}{3}=\frac{12}{3}=4.
Teorema: essa diferença dividida de ordem 3 vale f^{(3)}(\eta)/3! para algum \eta no intervalo [-1,2]. Assim existe \eta com
\frac{f^{(3)}(\eta)}{3!}=4 \quad\Rightarrow\quad f^{(3)}(\eta)=3!\cdot 4=6\cdot4=24.
Como não conhecemos a variação exata de f^{(3)} no intervalo, uma estimativa razoável (usada em exercícios deste tipo) é tomar 24 como um valor representativo para a magnitude da terceira derivada na região, ou então usar M=24 como uma cota aproximada para |f^{(3)}(t)|.

Passo 9

Aplicando a fórmula do erro em x=1,5 com x_0=0,x_1=1,x_2=2 e usando f^{(3)}(\eta)\approx 24:
|E(1,5)|\approx\left|\frac{f^{(3)}(\eta)}{3!}\,(1,5-0)(1,5-1)(1,5-2)\right|.
Substituindo números:
\frac{f^{(3)}(\eta)}{3!}=\frac{24}{6}=4,
e
(1,5-0)(1,5-1)(1,5-2)=1{,}5\cdot0{,}5\cdot(-0{,}5) = -0{,}375.
Tomando módulo,
|E(1,5)|\approx 4\cdot 0{,}375=1{,}5.
Portanto a estimativa do erro absoluto é 1{,}5. (Interpretação: f(1,5) está aproximadamente 2{,}75 com possível erro da ordem de 1{,}5, dado o cálculo da terceira derivada a partir dos dados.)

Resposta

\;f(1,5)\approx 2,75
\;|E(1,5)|\approx 1,5

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