Considere os valores de (x ; f(x)) dados por (-2 ; 16),(-1 ; 0),(0 ; 2),(1 ;-2),(2 ; 12).
Utilize a forma de Newton para obter f(1,5) usando um polinômio de grau 2 e encontre uma estimativa para o erro, isto é, calcule |E(1,5)|.
Passo 1
O enunciado dá os pontos (-2 ; 16),(-1 ; 0),(0 ; 2),(1 ;-2),(2 ; 12) e pede duas coisas: (i) aproximar f(1,5) usando um polinômio de grau 2 na forma de Newton; (ii) estimar o erro absoluto |E(1,5)|.
Informações relevantes que temos: os pares (x_i,f(x_i)) são
(-2,16),\;(-1,0),\;(0,2),\;(1,-2),\;(2,12).
Nenhuma outra informação sobre f é dada (por ex. derivadas), então usaremos os pontos disponíveis para construir o polinômio quadrático e para estimar a derivada de ordem 3 necessária na estimativa do erro.
Passo 2
Escolha dos nós para o polinômio quadrático: como queremos f(1,5) (isto é, x=1,5), é conveniente usar três nós próximos para reduzir o erro. Vou escolher os nós
x_0=0,\quad x_1=1,\quad x_2=2
com valores
f(0)=2,\quad f(1)=-2,\quad f(2)=12,
que estão todos fornecidos. A forma de Newton para o polinômio interpolador de grau 2 com esses nós é
Agora a estimativa do erro. Fórmula do resto (forma de Newton / Lagrange para interpolação por grau 2): existe algum \xi no intervalo convexo que contém os nós e x tal que
Aqui n=2 e aparece a derivada de ordem 3. Para estimar |E(1,5)| precisamos de uma estimativa para |f^{(3)}(t)| em algum intervalo contendo os nós usados e o ponto 1,5. Não conhecendo f explicitamente, podemos usar as diferenças divididas de ordem 3 calculadas a partir de quatro nós fornecidos para obter um valor representativo de f^{(3)}(\cdot)/3!.
Passo 8
Cálculo de uma diferença dividida de ordem 3 usando quatro nós disponíveis. Vou usar os nós -1,0,1,2 (estes quatro estão no conjunto dado e cobrem o intervalo onde está 1,5). Construo as diferenças já usadas antes e avanço:
Valores:
f(-1)=0,\quad f(0)=2,\quad f(1)=-2,\quad f(2)=12.
Diferenças de primeira ordem (algumas já calculadas):
Como não conhecemos a variação exata de f^{(3)} no intervalo, uma estimativa razoável (usada em exercícios deste tipo) é tomar 24 como um valor representativo para a magnitude da terceira derivada na região, ou então usar M=24 como uma cota aproximada para |f^{(3)}(t)|.
Passo 9
Aplicando a fórmula do erro em x=1,5 com x_0=0,x_1=1,x_2=2 e usando f^{(3)}(\eta)\approx 24:
Portanto a estimativa do erro absoluto é 1{,}5. (Interpretação: f(1,5) está aproximadamente 2{,}75 com possível erro da ordem de 1{,}5, dado o cálculo da terceira derivada a partir dos dados.)