Dado o quadro:
-1
1
3
-10
-5
1
a) Calcule o polinômio interpolador usando forma de Newton
b) Calcule uma aproximação para
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-1 | 1 | 3 |
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-10 | -5 | 1 |
b) Calcule uma aproximação para
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com três pontos (pares
) e pede duas coisas:
Perguntas:
- (a) Calcular o polinômio interpolador usando a forma de Newton.
- (b) Calcular uma aproximação para
.
Informações relevantes: os pontos usados para interpolação são
,
e
. Não há mais dados nem restrições.
Passo 2
O que é a forma de Newton e como vamos usá-la (aula rápida, calma que eu explico passo a passo).
A forma de Newton do polinômio interpolador de grau até construída a partir de nós
é:
A forma de Newton do polinômio interpolador de grau até
onde
é apenas o valor
e
são as diferenças divididas. As diferenças divididas de primeira ordem são definidas por
e recursivamente as de ordem maior por
Significado das variáveis:
-
são os pontos de interpolação. -
é o valor da função no ponto . -
é a taxa média de variação (diferença dividida) entre e . - O polinômio usa esses coeficientes multiplicados por produtos
.
Vamos aplicar isso explicitamente com nossos três pontos.
Passo 3
Nomeando os nós para facilitar:
Calculemos as diferenças divididas de primeira ordem:
Aqui usei diretamente os valores da tabela para calcular as duas primeiras diferenças divididas.
Passo 4
Agora a diferença dividida de segunda ordem (que combina as duas de primeira ordem):
Em fração esse valor é
, mas vou manter os dois formatos quando for útil.
Passo 5
Montando o polinômio na forma de Newton (centro em
):
Substituindo os coeficientes que encontramos:
Simplificando os sinais:
Essa é a resposta pedida em forma de Newton — está pronta para usar em avaliação.
Passo 6
Agora, para facilitar ver o polinômio em forma padrão, vamos expandir passo a passo.
Primeiro termo linear:
Segundo termo:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
constante: .
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
constante:
coeficiente de
coeficiente de
Portanto em forma padrão:
Em frações isso é
Passo 7
Checagem rápida (importante pra prova: sempre que puder, verifique nos nós):
- Para
: . Confere. - Para
: . Confere. - Para
: . Confere.
Bom sinal: interpolador está correto.
Passo 8
Agora calcular
(ou seja, aproximar
) usando a forma de Newton já encontrada — essa forma muitas vezes reduz contas porque usa os produtos
e
.
Tomando
:
Calcule os termos:
Somando no polinômio:
Podemos também escrever essa aproximação como fração:
, mas normalmente para provas uma aproximação decimal com 4 ou 5 casas já basta.
Resposta
(a)
(b)
(b)