Dado o quadro:
x -1 1 3
f(x) -10 -5 1
a) Calcule o polinômio interpolador usando forma de Newton
b) Calcule uma aproximação para f(-0,3)

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com três pontos (pares x,f(x)) e pede duas coisas:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 1 & 3\\\ \hline f(x) & -10 & -5 & 1\\\ \hline \end{array}
Perguntas:
  • (a) Calcular o polinômio interpolador usando a forma de Newton.
  • (b) Calcular uma aproximação para f(-0,3).
Informações relevantes: os pontos usados para interpolação são (-1,-10), (1,-5) e (3,1). Não há mais dados nem restrições.

Passo 2

O que é a forma de Newton e como vamos usá-la (aula rápida, calma que eu explico passo a passo).
A forma de Newton do polinômio interpolador de grau até n construída a partir de nós x_0,x_1,\dots,x_n é:
P(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots
onde f[x_i] é apenas o valor f(x_i) e f[\cdot,\cdot] são as diferenças divididas. As diferenças divididas de primeira ordem são definidas por
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i},
e recursivamente as de ordem maior por
f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
Significado das variáveis:
  • x_i são os pontos de interpolação.
  • f[x_i] é o valor da função no ponto x_i.
  • f[x_i,x_{i+1}] é a taxa média de variação (diferença dividida) entre x_i e x_{i+1}.
  • O polinômio usa esses coeficientes multiplicados por produtos (x-x_i).
Vamos aplicar isso explicitamente com nossos três pontos.

Passo 3

Nomeando os nós para facilitar:
x_0=-1,\quad f(x_0)=-10;
x_1=1,\quad f(x_1)=-5;
x_2=3,\quad f(x_2)=1.
Calculemos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{-5-(-10)}{1-(-1)}=\frac{5}{2}=2,5.
f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1-(-5)}{3-1}=\frac{6}{2}=3.
Aqui usei diretamente os valores da tabela para calcular as duas primeiras diferenças divididas.

Passo 4

Agora a diferença dividida de segunda ordem (que combina as duas de primeira ordem):
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{3-2,5}{3-(-1)}=\frac{0,5}{4}=0,125.
Em fração esse valor é \dfrac{1}{8}, mas vou manter os dois formatos quando for útil.

Passo 5

Montando o polinômio na forma de Newton (centro em x_0=-1):
P(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1).
Substituindo os coeficientes que encontramos:
P(x)=-10+2,5\,(x-(-1))+0,125\,(x-(-1))(x-1).
Simplificando os sinais:
P(x)=-10+2,5\,(x+1)+0,125\,(x+1)(x-1).
Essa é a resposta pedida em forma de Newton — está pronta para usar em avaliação.

Passo 6

Agora, para facilitar ver o polinômio em forma padrão, vamos expandir passo a passo.
Primeiro termo linear:
2,5\,(x+1)=2,5x+2,5.
Segundo termo:
0,125\,(x+1)(x-1)=0,125\,(x^2-1)=0,125x^2-0,125.
Somando tudo:
P(x)=-10+(2,5x+2,5)+(0,125x^2-0,125).
Agrupando termos semelhantes:
constante: -10+2,5-0,125=-7,625.
coeficiente de x: 2,5.
coeficiente de x^2: 0,125.
Portanto em forma padrão:
P(x)=0,125x^2+2,5x-7,625.
Em frações isso é
P(x)=\frac{1}{8}x^2+\frac{5}{2}x-\frac{61}{8}.

Passo 7

Checagem rápida (importante pra prova: sempre que puder, verifique nos nós):
  • Para x=-1: P(-1)=0,125\cdot 1+2,5\cdot(-1)-7,625=0,125-2,5-7,625=-10. Confere.
  • Para x=1: P(1)=0,125+2,5-7,625=-5. Confere.
  • Para x=3: P(3)=0,125\cdot9+2,5\cdot3-7,625=1+7,5-7,625=1. Confere.
Bom sinal: interpolador está correto.

Passo 8

Agora calcular P(-0,3) (ou seja, aproximar f(-0,3)) usando a forma de Newton já encontrada — essa forma muitas vezes reduz contas porque usa os produtos (x+1) e (x-1).
Tomando x=-0,3:
x+1= -0,3+1=0,7;\qquad x-1=-0,3-1=-1,3.
Calcule os termos:
2,5\,(x+1)=2,5\cdot 0,7=1,75.
(x+1)(x-1)=0,7\cdot(-1,3)=-0,91.
0,125\cdot (x+1)(x-1)=0,125\cdot(-0,91)=-0,11375.
Somando no polinômio:
P(-0,3)=-10+1,75-0,11375=-8,36375.
Podemos também escrever essa aproximação como fração: -8,36375=-\dfrac{6691}{800}, mas normalmente para provas uma aproximação decimal com 4 ou 5 casas já basta.

Resposta

(a) \displaystyle P(x)=-10+2,5\,(x+1)+0,125\,(x+1)(x-1)=0,125x^2+2,5x-7,625.
(b) \displaystyle P(-0,3)\approx -8,36375.

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