Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem linear (grau 1) e quadrático (grau 2) em torno do ponto
para a função
.
Informações dadas: e
.
O que precisa ser entregue: o polinômio de Taylor de grau 1 centrado em e o polinômio de Taylor de grau 2 centrado em
.
Informações dadas:
O que precisa ser entregue: o polinômio de Taylor de grau 1 centrado em
Passo 2
Vou usar a fórmula geral do polinômio de Taylor centrado em
:
Explicando essa fórmula de forma bem direta:
-
é a -ésima derivada de avaliada em . Para interpretamos . -
é o fatorial de (por exemplo , , ). - Para o polinômio linear usamos
e para o quadrático usamos .
Passo 3
Precisamos das derivadas de
. Vou aplicar a regra do poder (power rule): a derivada de
é
.
- Primeira derivada:
Aqui usei
, então
.
- Segunda derivada: derive
novamente aplicando a regra do poder:
Expliquei os sinais: o expoente
ao derivar dá fator
e o novo expoente
.
Passo 4
Agora avalio as derivadas no ponto
.
-
. -
-
Passo 5
Construo o polinômio de Taylor de ordem 1 (linear) em
usando a fórmula para
:
Substituindo os valores:
Opcionalmente, se quiser expandir para forma em
:
. Mas na prova normalmente a forma centrada
é a mais clara.
Passo 6
Construo o polinômio de Taylor de ordem 2 (quadrático) em
usando a fórmula para
:
Substituindo os valores de
:
Simplificando o coeficiente do termo quadrático
, obtemos
Se quiser ver na forma expandida em potências de
, expandindo:
Mas novamente, a forma centrada
é a forma típica de Taylor.
Passo 7
Pequena checagem rápida (para ganhar confiança): em
ambos os polinômios dão
, que é
. Para
próximo de
o
costuma aproximar melhor
do que
, porque incorpora a curvatura via
. Força aí — você já tem as fórmulas prontas para a prova!