Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto a para as seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x}, a=1

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem linear (grau 1) e quadrático (grau 2) em torno do ponto a=1 para a função f(x)=\sqrt{x}.
Informações dadas: f(x)=\sqrt{x} e a=1.
O que precisa ser entregue: o polinômio de Taylor de grau 1 centrado em a=1 e o polinômio de Taylor de grau 2 centrado em a=1.

Passo 2

Vou usar a fórmula geral do polinômio de Taylor centrado em a:
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}.
Explicando essa fórmula de forma bem direta:
  • f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=a. Para k=0 interpretamos f^{(0)}(a)=f(a).
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 2!=2, 1!=1, 0!=1).
  • Para o polinômio linear usamos n=1 e para o quadrático usamos n=2.

Passo 3

Precisamos das derivadas de f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. Vou aplicar a regra do poder (power rule): a derivada de x^{m} é m x^{m-1}.
  • Primeira derivada:
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Aqui usei m=\tfrac{1}{2}, então f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{\tfrac{1}{2}-1}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
  • Segunda derivada: derive f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2} novamente aplicando a regra do poder:
f''(x)=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2}=-\frac{1}{4}x^{-3/2}.
Expliquei os sinais: o expoente -\tfrac{1}{2} ao derivar dá fator -\tfrac{1}{2} e o novo expoente -\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Agora avalio as derivadas no ponto a=1.
  • f(1)=\sqrt{1}=1.
  • f'(1)=\dfrac{1}{2}\cdot 1^{-1/2}=\dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac{1}{2}.
  • f''(1)=-\dfrac{1}{4}\cdot 1^{-3/2}=-\dfrac{1}{4}\cdot 1=-\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Construo o polinômio de Taylor de ordem 1 (linear) em a=1 usando a fórmula para n=1:
T_1(x)=f(1)+f'(1)(x-1).
Substituindo os valores:
T_1(x)=1+\frac{1}{2}(x-1).
Opcionalmente, se quiser expandir para forma em x: T_1(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}. Mas na prova normalmente a forma centrada 1+\tfrac{1}{2}(x-1) é a mais clara.

Passo 6

Construo o polinômio de Taylor de ordem 2 (quadrático) em a=1 usando a fórmula para n=2:
T_2(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2.
Substituindo os valores de f(1),f'(1),f''(1):
T_2(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)+\frac{-\tfrac{1}{4}}{2}(x-1)^2.
Simplificando o coeficiente do termo quadrático \dfrac{-\tfrac{1}{4}}{2}=-\tfrac{1}{8}, obtemos
T_2(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^2.
Se quiser ver na forma expandida em potências de x, expandindo:
T_2(x)=-\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{3}{8}.
Mas novamente, a forma centrada \,1+\tfrac{1}{2}(x-1)-\tfrac{1}{8}(x-1)^2\, é a forma típica de Taylor.

Passo 7

Pequena checagem rápida (para ganhar confiança): em x=1 ambos os polinômios dão 1, que é f(1). Para x próximo de 1 o T_2 costuma aproximar melhor f do que T_1, porque incorpora a curvatura via f''(1). Força aí — você já tem as fórmulas prontas para a prova!

Resposta

T_{1}(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)
T_{2}(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^{2}

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