Considere a tabela:
1
4
6
12
0
1
5
12
a) Calcule o polinômio interpolador usando Sistemas lineares
b) Calcule uma aproximação para
|
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1 | 4 | 6 | 12 |
|
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0 | 1 | 5 | 12 |
b) Calcule uma aproximação para
Passo 1
O enunciado dá os quatro pontos da função
:
Pede:
a) calcular o polinômio interpolador usando sistemas lineares;
b) calcular uma aproximação para .
a) calcular o polinômio interpolador usando sistemas lineares;
b) calcular uma aproximação para
Passo 2
Escolhemos um polinômio de grau no máximo 3 porque quatro pontos em geral determinam um polinômio de grau
. Escrevo o polinômio genérico
onde
são coeficientes desconhecidos que vamos encontrar impondo
para os quatro pontos dados.
Passo 3
Substituo cada ponto em
e formo o sistema linear:
Passo 4
Para eliminar
subtraio a primeira equação das demais:
Passo 5
Agora elimino
entre EqA e EqB. Multiplico EqA por
e EqB por
para igualar o coeficiente de
:
Subtraindo a primeira da segunda:
Dividindo por
:
Assim obtenho
Passo 6
Uso EqA para expressar
em função de
e
. Da EqA:
Substituo
em
:
Logo
portanto
Passo 7
Agora substituo
e
na EqC para achar
. Escrevo EqC:
Substituindo
e
e colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Multiplico ambos os lados por
:
Calculando termo a termo:
Somando os coeficientes de
e constantes:
Isolando
:
Simplificando a fração (dividindo por
):
Passo 8
Com
encontrado, volto a
e
e depois
.
Calculo
:
Reducão por
:
Calculo
:
Calculo
usando
:
Colocando em denominador comum (ou substituindo numericamente os valores):
Usando o mínimo múltiplo
para somar:
Passo 9
Escrevo o polinômio interpolador com os coeficientes encontrados:
Passo 10
Agora calculo
(aproximação para
). Faço
:
Colocando tudo sobre o denominador comum
e somando obtemos