Considere a tabela:
x 1 4 6 12
f(x) 0 1 5 12
a) Calcule o polinômio interpolador usando Sistemas lineares
b) Calcule uma aproximação para f(5)

Passo 1

O enunciado dá os quatro pontos da função f:
(1,0),\quad (4,1),\quad (6,5),\quad (12,12).
Pede:
a) calcular o polinômio interpolador usando sistemas lineares;
b) calcular uma aproximação para f(5).

Passo 2

Escolhemos um polinômio de grau no máximo 3 porque quatro pontos em geral determinam um polinômio de grau \le 3. Escrevo o polinômio genérico
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
onde a,b,c,d são coeficientes desconhecidos que vamos encontrar impondo p(x_i)=f(x_i) para os quatro pontos dados.

Passo 3

Substituo cada ponto em p(x) e formo o sistema linear:
\begin{cases} a+b+c+d=0 & \text{(para } x=1,\,f(1)=0\text{)}\\[4pt] 64a+16b+4c+d=1 & \text{(para } x=4,\,f(4)=1\text{)}\\[4pt] 216a+36b+6c+d=5 & \text{(para } x=6,\,f(6)=5\text{)}\\[4pt] 1728a+144b+12c+d=12 & \text{(para } x=12,\,f(12)=12\text{).} \end{cases}]

Passo 4

Para eliminar d subtraio a primeira equação das demais:
\begin{aligned} (2)-(1):&\quad 63a+15b+3c=1 \quad\text{(chamo de EqA)}\\[4pt] (3)-(1):&\quad 215a+35b+5c=5 \quad\text{(chamo de EqB)}\\[4pt] (4)-(1):&\quad 1727a+143b+11c=12 \quad\text{(chamo de EqC)}. \end{aligned}]

Passo 5

Agora elimino c entre EqA e EqB. Multiplico EqA por 5 e EqB por 3 para igualar o coeficiente de c:
\begin{aligned} 5\cdot\text{EqA}:&\quad 315a+75b+15c=5,\\[4pt] 3\cdot\text{EqB}:&\quad 645a+105b+15c=15. \end{aligned}
Subtraindo a primeira da segunda:
(645-315)a+(105-75)b=15-5 \implies 330a+30b=10.
Dividindo por 10:
33a+3b=1.
Assim obtenho
b=\frac{1-33a}{3}.]

Passo 6

Uso EqA para expressar c em função de a e b. Da EqA:
63a+15b+3c=1 \implies 3c=1-63a-15b \implies c=\frac{1-63a-15b}{3}.
Substituo b=\dfrac{1-33a}{3} em 15b:
15b=15\cdot\frac{1-33a}{3}=5(1-33a)=5-165a.
Logo
3c=1-63a-(5-165a)=1-63a-5+165a=-4+102a,
portanto
c=\frac{102a-4}{3}.

Passo 7

Agora substituo b e c na EqC para achar a. Escrevo EqC:
1727a+143b+11c=12.
Substituindo b=\dfrac{1-33a}{3} e c=\dfrac{102a-4}{3} e colocando tudo sobre o mesmo denominador 3:
1727a+\frac{143(1-33a)}{3}+\frac{11(102a-4)}{3}=12.
Multiplico ambos os lados por 3:
3\cdot1727a+143(1-33a)+11(102a-4)=36.
Calculando termo a termo:
5181a+143-4719a+1122a-44=36.
Somando os coeficientes de a e constantes:
(5181-4719+1122)a+(143-44)=36 \implies 1584a+99=36.
Isolando a:
1584a=36-99=-63 \implies a=-\frac{63}{1584}.
Simplificando a fração (dividindo por 9):
a=-\frac{7}{176}.

Passo 8

Com a encontrado, volto a b e c e depois d.
Calculo b:
b=\frac{1-33a}{3}=\frac{1-33\cdot\left(-\dfrac{7}{176}\right)}{3}=\frac{1+\dfrac{231}{176}}{3}=\frac{\dfrac{407}{176}}{3}=\frac{407}{528}.
Reducão por 11:
b=\frac{37}{48}.
Calculo c:
c=\frac{102a-4}{3}=\frac{102\cdot\left(-\dfrac{7}{176}\right)-4}{3}=\frac{-\dfrac{714}{176}-4}{3}=\frac{-\dfrac{709}{88}}{3}=-\frac{709}{264}.
Calculo d usando a+b+c+d=0:
d=-a-b-c.
Colocando em denominador comum (ou substituindo numericamente os valores):
d=-\left(-\frac{7}{176}\right)-\frac{37}{48}-\left(-\frac{709}{264}\right)=\frac{7}{176}-\frac{37}{48}+\frac{709}{264}.
Usando o mínimo múltiplo 528 para somar:
d=\frac{21-407+1418}{528}=\frac{1032}{528}=\frac{43}{22}.

Passo 9

Escrevo o polinômio interpolador com os coeficientes encontrados:
p(x)=-\frac{7}{176}x^3+\frac{37}{48}x^2-\frac{709}{264}x+\frac{43}{22}.

Passo 10

Agora calculo p(5) (aproximação para f(5)). Faço p(5)=a\cdot 5^3+b\cdot 5^2+c\cdot 5+d:
\begin{aligned} p(5)&=-\frac{7}{176}\cdot125+\frac{37}{48}\cdot25-\frac{709}{264}\cdot5+\frac{43}{22}\\[4pt] &=-\frac{875}{176}+\frac{925}{48}-\frac{3545}{264}+\frac{43}{22}. \end{aligned}
Colocando tudo sobre o denominador comum 528 e somando obtemos
p(5)=\frac{1492}{528}=\frac{373}{132}\approx 2{,}82576\ldots]

Resposta

p(x)=-\dfrac{7}{176}x^{3}+\dfrac{37}{48}x^{2}-\dfrac{709}{264}x+\dfrac{43}{22}
f(5)\approx p(5)=\dfrac{373}{132}\approx 2{,}8258

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