Dadas as matrizes A=(ai j)2 times 2 e B=(bi j)2 times 2, sendo ai j=ll2 i-j & se i= j e bi j=lli^2-2 j & se i <= j i^2-j^3 & se i>j^prime, considere as afirmativas abaixo:
I. O produto da matriz M=[ll2 & 1] pela matriz A é a matriz [cc6 & 0 12 & 8].
II. A soma da matriz A com a transposta de B é a matriz [ll2 & 3 2 & 8].
III. A matriz M=[ll-3 & -a -b & -8] é oposta da matriz A se a=0 e b=5.
IV. A soma dos termos da matriz A cdot B tais que i <= j é igual a 1 .
V. A matriz inversa da matriz B é [cc0 & 13 -13 & -19].
Estão corretas apenas as afirmativas
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) II, III e V.
d) III, IV e V.

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre matrizes 2×2 definidas por fórmulas de “casos” e pede pra gente analisar várias afirmações envolvendo soma, transposta, produto, matriz oposta e inversa.
Conteúdo: definição de entradas (piece‐wise), soma de matrizes, transposta, produto, matriz oposta e inversa de matriz 2×2.
O que vamos precisar:
  • Calcular cada entrada de A e de B segundo as regras dadas;
  • Fazer A+Bᵀ;
  • Calcular A·B;
  • Ver o oposto (−A);
  • Encontrar B⁻¹ via fórmula do inverso de 2×2.

Passo 2

Vamos achar A = (a_{ij}) para i,j = 1,2, onde
a_{ij} =
2i − j, &se i= j
  • a_{11}: i=1, j=1 ⇒ i≥j ⇒ j²+2 = 1+2 = 3
  • a_{12}: i=1, j=2 ⇒ i<j ⇒ 2·1 − 2 = 0
  • a_{21}: i=2, j=1 ⇒ i≥j ⇒ 1+2 = 3
  • a_{22}: i=2, j=2 ⇒ i≥j ⇒ 4+2 = 6
Logo
A = 3 & 03 & 6

Passo 3

Agora B = (b_{ij}), com
b_{ij} =
i^2 − 2j, &se i<= j, i^2 − j^3, &se i>j
  • b_{11}: 1≤1 ⇒ 1 − 2·1 = -1
  • b_{12}: 1≤2 ⇒ 1 − 2·2 = -3
  • b_{21}: 2>1 ⇒ 4 − 1^3 = 3
  • b_{22}: 2≤2 ⇒ 4 − 2·2 = 0
Logo
B = -1 & -33 & 0

Passo 4

I. “O produto M·A é [6 0;12 8]” com M = [2 1].
– M tem dimensão 1×2 e A é 2×2 → o resultado seria 1×2, não 2×2. Além disso, se fôssemos multiplicar dá [9,6], não [6,0;12,8].
→ I é falsa.

Passo 5

II. “A + Bᵀ = [2 3;2 8]”.
Bᵀ = -1&3-3&0, então
A + B^T = 3-1 & 0+33-3 & 6+0 = 2 & 30 & 6,
não 2&32&8.
→ II é falsa.

Passo 6

III. “M = [−3  −a; −b  −8] é oposta de A se a=0 e b=5.”
Oposto de A = −A = -3&0-3&-6.
Para bater com M precisaríamos −a=0⇒a=0 e −b=−3⇒b=3, e também −8=−6 (impossível).
→ III é falsa.

Passo 7

IV. “A soma dos termos de A·B com i≤j é igual a 1.”
A·B = 3&03&6 -1&-33&0
= -3 & -915&-9.
Entradas com i≤j são c_{11}, c_{12}, c_{22}:
−3 + (−9) + (−9) = −21, não 1.
→ IV é falsa.

Passo 8

V. “B⁻¹ = 0&tfrac13-tfrac13&-tfrac19.”
Det(B)= (−1)·0−(−3)·3 = 9.
B^-1 = 190&3-3&-1 = 0&tfrac13-tfrac13&-tfrac19,
correto.
→ V é verdadeira.

Resposta

Somente a afirmativa V está correta.

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