Dadas as matrizes
e
, sendo
e
, considere as afirmativas abaixo:
I.
O produto da matriz
pela matriz
é a matriz
.
II. A soma da matriz
com a transposta de
é a matriz
.
III. A matriz
é oposta da matriz
se
e
.
IV. A soma dos termos da matriz
tais que
é igual a 1 .
V. A matriz inversa da matriz
é
.
Estão corretas apenas as afirmativas
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) II, III e V.
d) III, IV e V.
I.
II. A soma da matriz
III. A matriz
IV. A soma dos termos da matriz
V. A matriz inversa da matriz
Estão corretas apenas as afirmativas
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) II, III e V.
d) III, IV e V.
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre matrizes 2×2 definidas por fórmulas de “casos” e pede pra gente analisar várias afirmações envolvendo soma, transposta, produto, matriz oposta e inversa.
Conteúdo: definição de entradas (piece‐wise), soma de matrizes, transposta, produto, matriz oposta e inversa de matriz 2×2.
O que vamos precisar:
Conteúdo: definição de entradas (piece‐wise), soma de matrizes, transposta, produto, matriz oposta e inversa de matriz 2×2.
O que vamos precisar:
- Calcular cada entrada de A e de B segundo as regras dadas;
- Fazer A+Bᵀ;
- Calcular A·B;
- Ver o oposto (−A);
- Encontrar B⁻¹ via fórmula do inverso de 2×2.
Passo 2
Vamos achar A = (a_{ij}) para i,j = 1,2, onde
a_{ij} =
a_{ij} =
- a_{11}: i=1, j=1 ⇒ i≥j ⇒ j²+2 = 1+2 = 3
- a_{12}: i=1, j=2 ⇒ i<j ⇒ 2·1 − 2 = 0
- a_{21}: i=2, j=1 ⇒ i≥j ⇒ 1+2 = 3
- a_{22}: i=2, j=2 ⇒ i≥j ⇒ 4+2 = 6
Logo
Passo 3
Agora B = (b_{ij}), com
b_{ij} =
b_{ij} =
- b_{11}: 1≤1 ⇒ 1 − 2·1 = -1
- b_{12}: 1≤2 ⇒ 1 − 2·2 = -3
- b_{21}: 2>1 ⇒ 4 − 1^3 = 3
- b_{22}: 2≤2 ⇒ 4 − 2·2 = 0
Logo
Passo 4
I. “O produto M·A é [6 0;12 8]” com M = [2 1].
– M tem dimensão 1×2 e A é 2×2 → o resultado seria 1×2, não 2×2. Além disso, se fôssemos multiplicar dá [9,6], não [6,0;12,8].
→ I é falsa.
– M tem dimensão 1×2 e A é 2×2 → o resultado seria 1×2, não 2×2. Além disso, se fôssemos multiplicar dá [9,6], não [6,0;12,8].
→ I é falsa.
Passo 5
II. “A + Bᵀ = [2 3;2 8]”.
Bᵀ = , então
Bᵀ =
não
.
→ II é falsa.
→ II é falsa.
Passo 6
III. “M = [−3 −a; −b −8] é oposta de A se a=0 e b=5.”
Oposto de A = −A = .
Para bater com M precisaríamos −a=0⇒a=0 e −b=−3⇒b=3, e também −8=−6 (impossível).
→ III é falsa.
Oposto de A = −A =
Para bater com M precisaríamos −a=0⇒a=0 e −b=−3⇒b=3, e também −8=−6 (impossível).
→ III é falsa.
Passo 7
IV. “A soma dos termos de A·B com i≤j é igual a 1.”
A·B =
= .
Entradas com i≤j são c_{11}, c_{12}, c_{22}:
−3 + (−9) + (−9) = −21, não 1.
→ IV é falsa.
A·B =
=
Entradas com i≤j são c_{11}, c_{12}, c_{22}:
−3 + (−9) + (−9) = −21, não 1.
→ IV é falsa.
Passo 8
V. “B⁻¹ =
.”
Det(B)= (−1)·0−(−3)·3 = 9.
Det(B)= (−1)·0−(−3)·3 = 9.
correto.
→ V é verdadeira.
→ V é verdadeira.
Resposta
Somente a afirmativa V está correta.