Considere uma viga apoiada de comprimento l e de peso w por unidade de comprimento. Tomando a origem do sistema de coordenadas no apoio esquerdo, tem-se que as forças externas são a reação w l2 e a carga -w x e seus momentos são w l x2 e -w x^22, respectivamente. Portanto, a equação resultante é
E I y^prime prime=w l x2-w x^22
com condições de contorno
y(0)=0 y(l)=0
Resolva numericamente este problema considerando l=2, E I=10000 e w=5000. Interprete os resultados.

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente resolver a equação de torção da viga
E I,y''(x)=w,l,x2-w,x^22
com as condições de contorno
y(0)=0, y(l)=0
e dados numéricos l=2, E I=10000, w=5000.
O conteúdo aqui é equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, mais especificamente a integração direta de y''(x), e aplicação das condições de contorno para achar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, a gente substitui os valores numéricos na equação diferencial para obter uma expressão mais simples.
De
y''(x)=1E Il(w,l,x2-w,x^22r)
vem
$$y’’(x)=\frac{1}{10000}\Bigl(\frac{5000\cdot2\cdot x}{2}-\frac{5000,x^2}{2}\Bigr)
=\frac{5000,x-2500,x^2}{10000}
=0{,}5,x-0{,}25,x^2.$$

Passo 3

Agora integramos uma vez para achar y'(x).
Integração de cada termo:
0,5,x,dx=0,25,x^2,
0,25,x^2,dx=0,25x^33=112x^3.
Então
y'(x)=0,25,x^2-112x^3+C1

Passo 4

Integramos de novo para achar y(x).
0,25,x^2,dx=tfrac0,253x^3=112x^3,
112x^3,dx=112cdotx^44=148x^4.
Logo
y(x)=112x^3-148x^4+C1,x+C2

Passo 5

Agora vamos usar as condições de contorno pra achar C1 e C2.
  1. Em x=0, y(0)=0
0=underbrace112,0-148,00+C1cdot0+C2;Longrightarrow;C2=0
2) Em x=l=2, y(2)=0
$$0=\frac{1}{12},23-\frac{1}{48},24+C_1\cdot2
=\frac{8}{12}-\frac{16}{48}+2C_1
=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+2C_1
=\frac{1}{3}+2C_1. 0=112,2^3-148,2^4+C1cdot2 =812-1648+2C1 =23-13+2C1 =13+2C12C_1=-\frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad C_1=-\frac{1}{6}.$$

Passo 6

Substituindo C1 e C2=0 em y(x), a deflexão ao longo da viga fica
boxedy(x)=112x^3-148x^4-16x
Se a gente quiser a deflexão máxima, derivamos de novo e igualamos a zero:
$$y’(x)=0{,}25,x2-\frac{1}{12}x3-\frac{1}{6}=0
;\Longrightarrow;x=1\ (única raiz no intervalo[0,2]). y'(x)=0,25,x^2-112x^3-16=0 ;Longrightarrow;x=1 (única raiz no intervalo [0,2])y(1)=\frac{1}{12}-\frac{1}{48}-\frac{1}{6}
=\frac{4-1-8}{48}=-\frac{5}{48}\approx-0{,}1042.$$

Resposta

A deflexão da viga é
y(x)=112x^3-148x^4-16x,
e a deflexão máxima (para 0<= x<=2) ocorre em x=1,m, com valor aproximadamente -0,104,m (ou seja, 10,4 cm para baixo).

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