Considere que você foi contratado para simular a gestão de gastos de uma fábrica onde o custo de determinada produção mensal é dado por: Custo( x )=x^2-2 x-8.
(1.0) Use o método da posição falsa para encontrar a raiz positiva no intervalo [3.3,4.1] usando precisão de até 4 casas decimais e critério de parada como |a-b| <= varepsilon ou Custo(x) <= varepsilon com varepsilon=10^-2.
Fórmulas: Posição Falsa: C=a f(b)-b f(a)f(b)-f(a)

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: a fábrica tem custo dado por
C(x)=x^2-2x-8
e a gente quer achar a raiz positiva dessa função no intervalo C = a,f(b) - b,f(a)f(b)-f(a) usando o método da posição falsa (regula falsi).
Matéria: métodos numéricos para achar raízes de funções.
O que vamos precisar:
1) Calcular e pra ver se troca de sinal existe.
2) Aplicar a fórmula da posição falsa

3) Critério de parada:
- ou
- ,
com .

Passo 2

  1. Definindo f(a)=3.3^2 - 2cdot3.3 -8 = 10.89 -6.6 -8 = -3.71, e f(b)=4.1^2 - 2cdot4.1 -8 = 16.81 -8.2 -8 = 0.61 ,
    C1 = 3.3cdot0.61 - 4.1cdot(-3.71)0.61 - (-3.71) = 2.013 + 15.2114.32 approx 3.9870
    f(3.9870) approx (3.9870)^2 -2cdot3.9870 -8 = 15.896 -7.974 -8 = -0.078
    Como , tem raiz no intervalo.
  2. Calculando o primeiro ponto de posição falsa:
Avaliando :
Critérios:
  • ,
  • ,
    então segue.
    Como e são ambos negativos, trocamos .
    Novo intervalo: .

Passo 3

No segundo passo, usamos C2 = 3.9870cdot0.61 - 4.1cdot(-0.078)0.61 - (-0.078) approx 4.0009 , f(4.0009)approx (4.0009)^2 -2cdot4.0009 -8 = 16.0072 -8.0018 -8 = 0.0054 , , :
Agora:
  • ,
  • .
    Como , a gente para aqui.

Resposta

A raiz positiva aproximada é
boxedx approx 4.0009

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