Suponha que em uma dada empresa, seu prejuizo anual pode assumir 3 valores, dependendo das condições do mercado. O prejuizo (em milhões), é dado pela equação f(P)=P^3-P-1. Usando-se como critério de parada apenas |Pk+1-Pk| pede-se:
(1.0) Ache um dos possíveis prejuízos P (dado pela raiz positiva de f(P) ), através do método da Secante, usando precisão de 4 casas decimais. Use varepsilon=10^-2 e P0=1,25 e P1=1,4.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a raiz positiva da função
f(P)=P^3 - P - 1
usando o método da Secante até que a diferença entre dois chutes sucessivos seja menor que .
Conteúdo: Métodos Numéricos (raízes de equações) – Secante.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula da Secante
  2. Avaliar nos pontos iniciais
  3. Iterar até

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois primeiros valores de P0 = 1,25, P1 = 1,40 de f(P0)=1,25^3 - 1,25 -1 = -0,296875, e f(P1)=1,40^3 - 1,40 -1 = 0,344:
Pk+1 = Pk ;-; f(Pk),Pk - Pk-1f(Pk)-f(Pk-1)
Calcula-se:
P2 =1,40 -;0,344;1,40 - 1,250,344 - (-0,296875) approx 1,3195
A fórmula da Secante é
Então, para , calculamos :
A diferença é , que ainda é maior que , então continuamos.

Passo 3

Agora usamos f(P2)=1,3195^3 - 1,3195 -1approx -0,0219 e P3 =1,3195 -;(-0,0219);1,3195 - 1,40-0,0219 - 0,344 approx 1,3243 :
lvert P3 - P2rvert approx 0,0048 < 10^-2,
Aplicando a fórmula da Secante para achar :
Agora a diferença é
então atingimos o critério de parada.

Resposta

A raiz positiva aproximada é
boxedP approx 1,3243

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