Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de a=0 de grau n para as seguintes funções:
sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A função é sen(x) e queremos o polinômio de Taylor de grau n em torno de a = 0 (que a gente chama de série de Maclaurin). Isso é assunto de Cálculo (séries de Taylor), e para resolver vamos precisar:
  1. da fórmula geral do polinômio de Taylor em torno de 0,
  2. das derivadas sucessivas de sen(x) e
  3. das avaliações dessas derivadas em x = 0.

Passo 2

A teoria manda que o polinômio de Taylor de grau n de uma função f em torno de 0 é
Tn(x) ;=; sumk=0^n f^(k)(0)k!;x^k
Aqui f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0. É a fórmula base que a gente vai aplicar em sen(x).

Passo 3

Agora vamos ver como derivar sen(x) várias vezes e notar o padrão:
f(x) = sen(x)
f′(x) = cos(x)
f″(x) = –sen(x)
f‴(x) = –cos(x)
f⁽⁴⁾(x) = sen(x)
… e aí o ciclo repete a cada quatro derivadas.

Passo 4

A gente avalia essas derivadas em x=0:
sen(0)=0, cos(0)=1, –sen(0)=0, –cos(0)=–1, e depois volta. Então só sobram os valores nos quais a derivada é ±1. Concretamente:
– para k par: f^{(k)}(0) é zero se k for múltiplo de 2, exceto quando “cai” no cos(0) ou –cos(0). Mas note que cos(0) aparece nos k=1,5,9,… (números congruentes a 1 mod 4) e –cos(0) em k=3,7,11,… (3 mod 4)
– para k par e múltiplo de 4 (k=0,4,8,…), f^{(k)}(0)=sen(0)=0
– portanto apenas os k ímpares geram termos não nulos, e o sinal alterna conforme o ciclo de derivadas.

Passo 5

Reescrevendo só com os k ímpares, dizemos k=2m+1, onde m vai de 0 até o maior inteiro tal que 2m+1 ≤ n (ou seja, m = 0,1,2,…,⌊n/2⌋). O sinal é (+) quando m é par e (–) quando m é ímpar, isso dá (–1)^m. O f^{(2m+1)}(0) = (–1)^m. Então o termo geral é
f^(2m+1)(0)(2m+1)!,x^2m+1 ;=; (-1)^m(2m+1)!,x^2m+1
Agrupando num somatório até m = ⌊n/2⌋, temos o polinômio de grau n.

Resposta

Tn(x) ;=; summ=0^lfloor n/2rfloor (-1)^m(2m+1)!;x^2m+1

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