Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A função é sen(x) e queremos o polinômio de Taylor de grau n em torno de a = 0 (que a gente chama de série de Maclaurin). Isso é assunto de Cálculo (séries de Taylor), e para resolver vamos precisar:
- da fórmula geral do polinômio de Taylor em torno de 0,
- das derivadas sucessivas de sen(x) e
- das avaliações dessas derivadas em x = 0.
Passo 2
A teoria manda que o polinômio de Taylor de grau n de uma função f em torno de 0 é
Aqui f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0. É a fórmula base que a gente vai aplicar em sen(x).
Passo 3
Agora vamos ver como derivar sen(x) várias vezes e notar o padrão:
f(x) = sen(x)
f′(x) = cos(x)
f″(x) = –sen(x)
f‴(x) = –cos(x)
f⁽⁴⁾(x) = sen(x)
… e aí o ciclo repete a cada quatro derivadas.
f(x) = sen(x)
f′(x) = cos(x)
f″(x) = –sen(x)
f‴(x) = –cos(x)
f⁽⁴⁾(x) = sen(x)
… e aí o ciclo repete a cada quatro derivadas.
Passo 4
A gente avalia essas derivadas em x=0:
sen(0)=0, cos(0)=1, –sen(0)=0, –cos(0)=–1, e depois volta. Então só sobram os valores nos quais a derivada é ±1. Concretamente:
– para k par: f^{(k)}(0) é zero se k for múltiplo de 2, exceto quando “cai” no cos(0) ou –cos(0). Mas note que cos(0) aparece nos k=1,5,9,… (números congruentes a 1 mod 4) e –cos(0) em k=3,7,11,… (3 mod 4)
– para k par e múltiplo de 4 (k=0,4,8,…), f^{(k)}(0)=sen(0)=0
– portanto apenas os k ímpares geram termos não nulos, e o sinal alterna conforme o ciclo de derivadas.
sen(0)=0, cos(0)=1, –sen(0)=0, –cos(0)=–1, e depois volta. Então só sobram os valores nos quais a derivada é ±1. Concretamente:
– para k par: f^{(k)}(0) é zero se k for múltiplo de 2, exceto quando “cai” no cos(0) ou –cos(0). Mas note que cos(0) aparece nos k=1,5,9,… (números congruentes a 1 mod 4) e –cos(0) em k=3,7,11,… (3 mod 4)
– para k par e múltiplo de 4 (k=0,4,8,…), f^{(k)}(0)=sen(0)=0
– portanto apenas os k ímpares geram termos não nulos, e o sinal alterna conforme o ciclo de derivadas.
Passo 5
Reescrevendo só com os k ímpares, dizemos k=2m+1, onde m vai de 0 até o maior inteiro tal que 2m+1 ≤ n (ou seja, m = 0,1,2,…,⌊n/2⌋). O sinal é (+) quando m é par e (–) quando m é ímpar, isso dá (–1)^m. O f^{(2m+1)}(0) = (–1)^m. Então o termo geral é
Agrupando num somatório até m = ⌊n/2⌋, temos o polinômio de grau n.