Mostre que o Método da Posição Falsa é uma generalização do Método da Bisseção.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para mostrar que o Método da Posição Falsa (Regula Falsi) é, na verdade, uma versão mais geral do Método da Bisseção. Isso faz parte de Métodos Numéricos para achar raízes de funções.
Para resolver a gente vai precisar:
Para resolver a gente vai precisar:
- Saber como funciona o Método da Bisseção;
- Saber como funciona o Método da Posição Falsa;
- Comparar as fórmulas e ver em que condição a posição falsa vira exatamente a bisseção.
Passo 2
Primeiro, o Método da Bisseção:
- Você tem um intervalo
tal que e têm sinais opostos, ou seja, . - A cada iteração você escolhe o ponto médio
- Como ele não usa valores de
além do sinal em e , esse método sempre “corta ao meio” o intervalo.
Passo 3
Agora o Método da Posição Falsa (Regula Falsi):
- Mesma premissa:
com . - Aqui você calcula
Isso vem de fazer a interpolação linear entre os pontos
e
e achar onde essa reta cruza o eixo
. É mais esperto que só pegar o meio, porque usa o valor de
.
Passo 4
Vamos ver em que caso a posição falsa cai no mesmo “meio” do método da bisseção.
Suponha que
Suponha que
Então
Substituindo em
:
Ou seja, sempre que
e
tiverem o mesmo módulo e sinais opostos, a Regula Falsi dá exatamente o ponto médio.
Resposta
Mostramos que, ao impor
, a fórmula do Método da Posição Falsa vira exatamente
que é a regra da Bisseção. Portanto, o Método da Posição Falsa generaliza o da Bisseção, pois contém este como caso particular.