Mostre que o Método da Posição Falsa é uma generalização do Método da Bisseção.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrar que o Método da Posição Falsa (Regula Falsi) é, na verdade, uma versão mais geral do Método da Bisseção. Isso faz parte de Métodos Numéricos para achar raízes de funções.
Para resolver a gente vai precisar:
  • Saber como funciona o Método da Bisseção;
  • Saber como funciona o Método da Posição Falsa;
  • Comparar as fórmulas e ver em que condição a posição falsa vira exatamente a bisseção.

Passo 2

Primeiro, o Método da Bisseção:
  1. Você tem um intervalo cbis ;=;a+b2 tal que e têm sinais opostos, ou seja, .
  2. A cada iteração você escolhe o ponto médio
  1. Como ele não usa valores de além do sinal em e , esse método sempre “corta ao meio” o intervalo.

Passo 3

Agora o Método da Posição Falsa (Regula Falsi):
  1. Mesma premissa: cPF ;=; b ;-; f(b),a-b,f(a)-f(b), com .
  2. Aqui você calcula
Isso vem de fazer a interpolação linear entre os pontos e e achar onde essa reta cruza o eixo . É mais esperto que só pegar o meio, porque usa o valor de .

Passo 4

Vamos ver em que caso a posição falsa cai no mesmo “meio” do método da bisseção.
Suponha que
f(a) = -,f(b)
Então
f(a)-f(b) = -f(b)-f(b) = -2,f(b)
Substituindo em cPF = b ;-; f(b),a-b-2,f(b) = b ;+;a-b2 = 2b + (a-b)2 = a+b2 = cbis :
Ou seja, sempre que e tiverem o mesmo módulo e sinais opostos, a Regula Falsi dá exatamente o ponto médio.

Resposta

Mostramos que, ao impor cPF ;=;a+b2, , a fórmula do Método da Posição Falsa vira exatamente
que é a regra da Bisseção. Portanto, o Método da Posição Falsa generaliza o da Bisseção, pois contém este como caso particular.

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