Construa os gráficos das funções reais abaixo
f(x)=x^{2}-4|x|+3

Passo 1

O que o enunciado pede: construir o gráfico da função real
f(x)=x^{2}-4|x|+3.
Informações que já temos do enunciado:
  • A função está definida para todos os números reais (não há restrição explícita no enunciado).
  • A presença de |x| é a informação relevante que muda a expressão dependendo do sinal de x.
  • O objetivo é apresentar o gráfico (ou seja: forma, vértices, zeros, interceptos, comportamento para grandes |x|, simetrias, etc.).

Passo 2

Transformar a função usando a definição de valor absoluto (essa é a técnica para lidar com [|x|)).
Lembrete rápido sobre |x|: por definição
|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Portanto, devemos escrever f\] em duas fórmulas, uma para \(x\ge0 e outra para x<0.
Para x\ge 0 temos |x|=x, então
f(x)=x^{2}-4x+3\quad\text{se }x\ge 0.
Para x<0 temos |x|=-x, então
f(x)=x^{2}+4x+3\quad\text{se }x<0.
Assim f é dada de forma piecewise por
f(x)=\begin{cases} x^{2}+4x+3, & x<0,\\[4pt] x^{2}-4x+3, & x\ge 0. \end{cases}]

Passo 3

Colocar cada ramo na forma vértice (completar quadrado) para identificar vértices e orientação das parábolas.
Para x\ge 0, completar o quadrado em x^{2}-4x+3:
x^{2}-4x+3=(x^{2}-4x+4)-1=(x-2)^{2}-1.
Logo o ramo direito é a parábola (x-2)^{2}-1, cujo vértice é (2,-1) e abre para cima.
Para x<0, completar o quadrado em x^{2}+4x+3:
x^{2}+4x+3=(x^{2}+4x+4)-1=(x+2)^{2}-1.
Logo o ramo esquerdo é a parábola (x+2)^{2}-1, cujo vértice é (-2,-1) e abre para cima.
Observação importante (como interpretar vértices): ao completar o quadrado, escrevemos a parábola como (x-h)^{2}+k. Então o vértice é o ponto (h,k). Aqui obtivemos vértices em (2,-1) e (-2,-1).

Passo 4

Encontrar interceptos com os eixos — pontos chave para desenhar.
Intercepto com o eixo y (colocar x=0):
f(0)=0^{2}-4|0|+3=3.
Portanto o ponto (0,3) é o intercepto com y.
Interceptos com o eixo x (resolver f(x)=0). Uma maneira prática é usar t=|x|\ge0:
t^{2}-4t+3=0 \quad\Rightarrow\quad (t-1)(t-3)=0,
portanto t=1 ou t=3. Como t=|x|, isso dá as raízes
x=\pm 1,\\ \pm 3.
Logo os interceptos em x são (-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0).

Passo 5

Calcular alguns pontos adicionais (tabela simétrica) para facilitar o esboço.
Como a função ficou em formas quadráticas simples, calcule valores para x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 usando a definição original \,f(x)=x^{2}-4|x|+3:
  • Para x=\pm 4: |x|=4\Rightarrow f=\;16-16+3=3. Pontos (-4,3) e (4,3).
  • Para x=\pm 3: |x|=3\Rightarrow f=\;9-12+3=0. Pontos (-3,0) e (3,0).
  • Para x=\pm 2: |x|=2\Rightarrow f=\;4-8+3=-1. Pontos (-2,-1) e (2,-1) — são os vértices já encontrados.
  • Para x=\pm 1: |x|=1\Rightarrow f=\;1-4+3=0. Pontos (-1,0) e (1,0).
  • Para x=0: já tivemos f(0)=3.
A tabela completa (simétrica) é:
\begin{array}{c|c} x & f(x)\\hline -4 & 3\\\\ -3 & 0\\\\ -2 & -1\\\\ -1 & 0\\\\ 0 & 3\\\\ 1 & 0\\\\ 2 & -1\\\\ 3 & 0\\\\ 4 & 3 \end{array}

Passo 6

Domínio, imagem (range) e comportamento para |x|\to\infty.
  • Domínio: todos os reais, isto é \mathbb{R}.
  • Como cada ramo é uma parábola que abre para cima e seus mínimos (vértices) têm valor -1, o menor valor atingido por f é -1. Portanto a imagem é
\operatorname{Im}(f)=[-1,\infty).
  • Para |x|\to\infty, o termo x^{2} domina e f(x)\to +\infty.

Passo 7

Simetria e diferenciabilidade (curiosidades que ajudam no desenho e interpretação).
  • Simetria: verificar f(-x). Usando a expressão original,
f(-x)=(-x)^{2}-4|{-x}|+3=x^{2}-4|x|+3=f(x).
Logo f é função par (simétrica em relação ao eixo y). Isso explica a tabela simétrica e os pares de pontos.
  • Diferenciabilidade em x=0: calcular derivadas laterais a partir das fórmulas dos ramos.
    • Para x>0, f(x)=x^{2}-4x+3\Rightarrow f'(x)=2x-4. Então f'(0^{+})=-4.
    • Para x<0, f(x)=x^{2}+4x+3\Rightarrow f'(x)=2x+4. Então f'(0^{-})=4.
      Como f'(0^{-})\neq f'(0^{+}), a função não é diferenciável em x=0. No gráfico isso aparece como um “canto” (um vértice não suave) no ponto (0,3).

Passo 8

Instruções práticas para desenhar o gráfico passo a passo (como eu faria na prova com caneta e papel).
  1. Desenhe os eixos x e y e marque o eixo y com y=3 e y=-1 como referências.
  2. Marque os vértices (-2,-1) e (2,-1).
  3. Marque os interceptos com x: -3,-1,1,3 no eixo x.
  4. Marque o intercepto com y: (0,3).
  5. Marque pontos adicionais (-4,3) e (4,3) para ajudar a visualizar a abertura.
  6. Desenhe a parábola esquerda passando por (-4,3),(-3,0),(-2,-1),(-1,0),(0,3) usando a curva suave de uma parábola que tem vértice em (-2,-1).
  7. Desenhe a parábola direita passando por (0,3),(1,0),(2,-1),(3,0),(4,3) com vértice em (2,-1).
  8. Lembre-se: as duas curvas se encontram em (0,3) de forma contínua, mas com derivadas diferentes (canto).
Se quiser uma visualização rápida na cabeça: imagine duas parábolas iguais (transladadas), centradas em x=-2 e x=2, ambas com mínimo em y=-1, que se unem em x=0 no ponto (0,3).

Resposta

f(x)=\begin{cases} x^{2}+4x+3=(x+2)^{2}-1, & x<0,\\[4pt] x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1, & x\ge 0. \end{cases}
Zeros: x=\pm 1,\pm 3.
Vértices: (-2,-1) e (2,-1).
Intercepto em y: f(0)=3.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: [-1,\infty).
Simetria: f é par (simétrica em relação ao eixo y).
Diferenciabilidade: não é diferenciável em x=0 (derivadas laterais 4 e -4).]

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