Construa os gráficos das funções reais abaixo
Passo 1
O que o enunciado pede: construir o gráfico da função real
Informações que já temos do enunciado:
- A função está definida para todos os números reais (não há restrição explícita no enunciado).
- A presença de
é a informação relevante que muda a expressão dependendo do sinal de . - O objetivo é apresentar o gráfico (ou seja: forma, vértices, zeros, interceptos, comportamento para grandes
, simetrias, etc.).
Passo 2
Transformar a função usando a definição de valor absoluto (essa é a técnica para lidar com [|x|)).
Lembrete rápido sobre
: por definição
Portanto, devemos escrever
e outra para
.
Para
temos
, então
Para
temos
, então
Assim
é dada de forma piecewise por
Passo 3
Colocar cada ramo na forma vértice (completar quadrado) para identificar vértices e orientação das parábolas.
Para
, completar o quadrado em
:
Logo o ramo direito é a parábola
, cujo vértice é
e abre para cima.
Para
, completar o quadrado em
:
Logo o ramo esquerdo é a parábola
, cujo vértice é
e abre para cima.
Observação importante (como interpretar vértices): ao completar o quadrado, escrevemos a parábola como
. Então o vértice é o ponto
. Aqui obtivemos vértices em
e
.
Passo 4
Encontrar interceptos com os eixos — pontos chave para desenhar.
Intercepto com o eixo
(colocar
):
Portanto o ponto
é o intercepto com
.
Interceptos com o eixo
(resolver
). Uma maneira prática é usar
:
portanto
ou
. Como
, isso dá as raízes
Logo os interceptos em
são
.
Passo 5
Calcular alguns pontos adicionais (tabela simétrica) para facilitar o esboço.
Como a função ficou em formas quadráticas simples, calcule valores para
usando a definição original
:
- Para
: . Pontos e . - Para
: . Pontos e . - Para
: . Pontos e — são os vértices já encontrados. - Para
: . Pontos e . - Para
: já tivemos .
A tabela completa (simétrica) é:
Passo 6
Domínio, imagem (range) e comportamento para
.
- Domínio: todos os reais, isto é
. - Como cada ramo é uma parábola que abre para cima e seus mínimos (vértices) têm valor
, o menor valor atingido por é . Portanto a imagem é
- Para
, o termo domina e .
Passo 7
Simetria e diferenciabilidade (curiosidades que ajudam no desenho e interpretação).
- Simetria: verificar
. Usando a expressão original,
Logo
é função par (simétrica em relação ao eixo
). Isso explica a tabela simétrica e os pares de pontos.
- Diferenciabilidade em
: calcular derivadas laterais a partir das fórmulas dos ramos. - Para
, . Então . - Para
, . Então .
Como, a função não é diferenciável em . No gráfico isso aparece como um “canto” (um vértice não suave) no ponto .
- Para
Passo 8
Instruções práticas para desenhar o gráfico passo a passo (como eu faria na prova com caneta e papel).
- Desenhe os eixos
e e marque o eixo com e como referências. - Marque os vértices
e . - Marque os interceptos com
: no eixo . - Marque o intercepto com
: . - Marque pontos adicionais
e para ajudar a visualizar a abertura. - Desenhe a parábola esquerda passando por
usando a curva suave de uma parábola que tem vértice em . - Desenhe a parábola direita passando por
com vértice em . - Lembre-se: as duas curvas se encontram em
de forma contínua, mas com derivadas diferentes (canto).
Se quiser uma visualização rápida na cabeça: imagine duas parábolas iguais (transladadas), centradas em
e
, ambas com mínimo em
, que se unem em
no ponto
.
Resposta
Zeros:
.
Vértices: e
.
Intercepto em :
.
Domínio: .
Imagem: .
Simetria: é par (simétrica em relação ao eixo
).
Diferenciabilidade: não é diferenciável em (derivadas laterais
e
).]
Vértices:
Intercepto em
Domínio:
Imagem:
Simetria:
Diferenciabilidade: não é diferenciável em