Como determinar o polinômio de grau 2 que passa por não apenas um, mas por três pontos dados
?
Passo 1
O enunciado pede para achar um polinômio de grau 2 (ou seja, da forma
) que “passe” por três pontos dados
,
e
.
Conteúdo: interpolação polinomial (mais especificamente, o método de Lagrange).
O que precisamos: entender que um polinômio de grau 2 tem três coeficientes ( ) e ver como montar uma fórmula geral que garanta
para
.
Conteúdo: interpolação polinomial (mais especificamente, o método de Lagrange).
O que precisamos: entender que um polinômio de grau 2 tem três coeficientes (
Passo 2
Em vez de resolver um sistema de três equações para
, a gente usa o esquema de Lagrange. A ideia é construir três “pedaços” de função, chamados polinômios base
,
e
, tais que:
-
se -
se
Assim, ao somar, garantimos que em só sobrevive o termo , fechando a interpolação.
Passo 3
Cada
é construído “eliminando” os
-s que não interessam:
Repare que, por exemplo, em
, o numerador de
vira
, cancelando com o denominador, e os
viram zero porque um dos fatores do numerador zera.
Passo 4
O polinômio interpolador final é a soma ponderada desses blocos:
Isso já é um polinômio de grau no máximo 2 e satisfaz
para
.