Como determinar o polinômio de grau 2 que passa por não apenas um, mas por três pontos dados (x0, y0),(x1, y1),(x2, y2) ?

Passo 1

O enunciado pede para achar um polinômio de grau 2 (ou seja, da forma ) que “passe” por três pontos dados , e .
Conteúdo: interpolação polinomial (mais especificamente, o método de Lagrange).
O que precisamos: entender que um polinômio de grau 2 tem três coeficientes ( ) e ver como montar uma fórmula geral que garanta para .

Passo 2

Em vez de resolver um sistema de três equações para , a gente usa o esquema de Lagrange. A ideia é construir três “pedaços” de função, chamados polinômios base , e , tais que:
  • se
  • se
    Assim, ao somar , garantimos que em só sobrevive o termo , fechando a interpola­ção.

Passo 3

Cada L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1) é construído “eliminando” os -s que não interessam:
Repare que, por exemplo, em , o numerador de vira , cancelando com o denominador, e os viram zero porque um dos fatores do numerador zera.

Passo 4

O polinômio interpolador final é a soma ponderada desses blocos:
P(x);=;y0,L0(x);+;y1,L1(x);+;y2,L2(x)
Isso já é um polinômio de grau no máximo 2 e satisfaz para .

Resposta

boxed P(x);=;y0,(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2) ;+;y1,(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2) ;+;y2,(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)

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