Descreva com suas palavras a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange.
Resposta: Complete.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O exercício pede para descrever, com nossas próprias palavras, a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange. Isso faz parte de um tópico de Análise Numérica ou Cálculo Numérico, em que aprendemos a construir um polinômio que “passa” exatamente por um conjunto de pontos . Para resolver, a gente vai precisar entender o que são os polinômios base de Lagrange e como eles se combinam numa soma ponderada pelos valores .

Passo 2

O que é interpolação polinomial?
Interpolação polinomial é um jeito de achar um polinômio de grau, no máximo, que satisfaça para cada par de dados . A ideia é montar “pedaços” de polinômio que chegam a 1 no ponto desejado e a 0 em todos os outros . Esses pedaços são os polinômios base de Lagrange.

Passo 3

Construindo o polinômio base li(x) ;=; prodsubstackj=0 jneq i^n x - xjxi - xj
Para cada índice , definimos
Por que isso funciona?
  • Quando , cada fração vale 1, então .
  • Se com , um dos termos do produto é , então .
Assim, “liga” só no ponto .

Passo 4

Montando o polinômio interpolador de Lagrange
Agora a gente combina esses pedaços com os valores Pn(x) ;=; sumi=0^n yi , li(x) . A soma fica assim:
Em cada , apenas o termo sobrevive (porque e todos os outros ), garantindo .

Resposta

Na prática, a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange é:
Pn(x) ;=; sumi=0^n yi ;g(prodsubstackj=0 jneq i^n x - xjxi - xjg)
Em palavras, você cria um “polinômio base” para cada ponto que vale 1 no seu e 0 nos outros , e depois faz uma média ponderada desses usando os valores . Dessa forma, o polinômio resultante passa certinho por todos os pontos dados.

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