Descreva com suas palavras a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange.
Resposta: Complete.
Resposta: Complete.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
O exercício pede para descrever, com nossas próprias palavras, a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange. Isso faz parte de um tópico de Análise Numérica ou Cálculo Numérico, em que aprendemos a construir um polinômio que “passa” exatamente por um conjunto de pontos . Para resolver, a gente vai precisar entender o que são os polinômios base de Lagrange
e como eles se combinam numa soma ponderada pelos valores
.
O exercício pede para descrever, com nossas próprias palavras, a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange. Isso faz parte de um tópico de Análise Numérica ou Cálculo Numérico, em que aprendemos a construir um polinômio que “passa” exatamente por um conjunto de pontos
Passo 2
O que é interpolação polinomial?
Interpolação polinomial é um jeito de achar um polinômio de grau, no máximo,
que satisfaça
para cada par de dados
. A ideia é montar “pedaços” de polinômio que chegam a 1 no ponto desejado
e a 0 em todos os outros
. Esses pedaços são os polinômios base de Lagrange.
Interpolação polinomial é um jeito de achar um polinômio
Passo 3
Construindo o polinômio base
Para cada índice , definimos
Para cada índice
Por que isso funciona?
- Quando
, cada fração vale 1, então . - Se
com , um dos termos do produto é , então .
Assim,
“liga” só no ponto
.
Passo 4
Montando o polinômio interpolador de Lagrange
Agora a gente combina esses pedaços com os valores . A soma fica assim:
Agora a gente combina esses pedaços com os valores
Em cada
, apenas o termo
sobrevive (porque
e todos os outros
), garantindo
.
Resposta
Na prática, a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange é:
Em palavras, você cria um “polinômio base”
para cada ponto que vale 1 no seu
e 0 nos outros
, e depois faz uma média ponderada desses
usando os valores
. Dessa forma, o polinômio resultante passa certinho por todos os pontos dados.