Construa o sistema linear para determinar os coeficientes do polinômio interpolador a partir dos pontos dados, e resolva pelo método da eliminação de Gauss.
Determine P(x)=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} para os pontos: (1,2),(2,3),(3,5).

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o sistema linear para determinar os coeficientes do polinômio interpolador de grau 2 e resolva esse sistema pelo método da eliminação de Gauss.
Os pontos dados são (1,2), (2,3) e (3,5).
As incógnitas são os coeficientes a_{2}, a_{1} e a_{0} do polinômio
P(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.

Passo 2

Construo as equações impondo P(x)=y para cada ponto, substituindo x e y:
Para (1,2):
a_{2}\cdot 1^{2}+a_{1}\cdot 1+a_{0}=2 \quad\Rightarrow\quad a_{2}+a_{1}+a_{0}=2.
Para (2,3):
a_{2}\cdot 2^{2}+a_{1}\cdot 2+a_{0}=3 \quad\Rightarrow\quad 4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=3.
Para (3,5):
a_{2}\cdot 3^{2}+a_{1}\cdot 3+a_{0}=5 \quad\Rightarrow\quad 9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=5.
Portanto o sistema linear é
\begin{cases} a_{2}+a_{1}+a_{0}=2,\\[4pt] 4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=3,\\[4pt] 9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=5. \end{cases}]

Passo 3

Represento o sistema na forma de matriz aumentada (colunas correspondem a a_{2},a_{1},a_{0} e a coluna à direita é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 4 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 9 & 3 & 1 & 5 \end{array}\right]
Explicação rápida do método de Gauss: aplicamos operações elementares em linhas (trocar linhas; multiplicar uma linha por constante não nula; somar múltiplo de uma linha a outra) para transformar a matriz aumentada numa matriz triangular superior, isto é, com zeros abaixo da diagonal principal. Depois fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas.]

Passo 4

Eliminação do elemento na posição (2,1) e (3,1) usando a primeira linha como pivô (o pivô é 1 em a_{2} na primeira linha):
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-4R_{1}:
R_{2}:\\ [4\\\ 2\\\ 1\\ |\\\ 3] - 4\cdot[1\\\ 1\\\ 1\\ |\\\ 2] = [0\\\ -2\\\ -3\\ |\\\ -5].
Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-9R_{1}:
R_{3}:\\ [9\\\ 3\\\ 1\\ |\\\ 5] - 9\cdot[1\\\ 1\\\ 1\\ |\\\ 2] = [0\\\ -6\\\ -8\\ |\\\ -13].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & -3 & -5\\[4pt] 0 & -6 & -8 & -13 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora uso o elemento -2 em (2,2) como pivô para zerar o elemento em (3,2). O multiplicador é m=\dfrac{-6}{-2}=3. Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{2}:
R_{3}:\\ [0\\\ -6\\\ -8\\ |\\\ -13] - 3\cdot[0\\\ -2\\\ -3\\ |\\\ -5] = [0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ 2].
A matriz triangular superior obtida é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & -3 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora faço a substituição regressiva (back-substitution). A última linha dá diretamente a_{0}:
Da terceira linha:
1\cdot a_{0}=2 \quad\Rightarrow\quad a_{0}=2.

Passo 7

Substituo a_{0}=2 na segunda linha para encontrar a_{1}:
Segunda linha:
-2\,a_{1}-3\,a_{0}=-5.
Substituindo a_{0}=2:
-2\,a_{1}-3\cdot 2 = -5 \quad\Rightarrow\quad -2\,a_{1}-6=-5.
Isolando a_{1}:
-2\,a_{1}=1 \quad\Rightarrow\quad a_{1}=-\frac{1}{2}.

Passo 8

Finalmente substituo a_{1}=-\dfrac{1}{2} e a_{0}=2 na primeira linha para achar a_{2}:
Primeira linha:
a_{2}+a_{1}+a_{0}=2.
Substituindo:
a_{2}-\frac{1}{2}+2=2 \quad\Rightarrow\quad a_{2}+\frac{3}{2}=2.
Assim
a_{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.

Resposta

P(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}x+2

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