Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando fatoração LU sem pivotamento parcial. Apresente as matrizes L e U e o vetor solução.
\left\{ \begin{array}{l} x+y+z+w=10 \\\\ 2 x+3 y+z+w=14 \\\ x+2 y+3 z+w=13 \\\\ 2 x+y+2 z+3 w=17 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\left\{ \begin{array}{l} x+y+z+w=10 \\\\ 2x+3y+z+w=14 \\\ x+2y+3z+w=13 \\\\ 2x+y+2z+3w=17 \end{array} \right.
usando fatoração LU sem pivotamento parcial. Devemos apresentar as matrizes L e U (onde A=LU, com L triangular inferior com diagonais iguais a 1 e U triangular superior) e o vetor solução \mathbf{x}=(x,y,z,w)^T.
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]14\\[4pt]13\\[4pt]17\end{pmatrix}.]

Passo 2

Breve aula sobre fatoração LU (método Doolittle) — sem jargões complicados:
  • A ideia é escrever A=LU, com L triangular inferior com 1s na diagonal e U triangular superior.
  • Algoritmo (para matriz n\times n):
    • Para k=1,\dots,n calcular primeiro os elementos da linha k de U: u_{k,j}=a_{k,j}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{k,s}u_{s,j},\qquad j=k,\dots,n.
    • Depois calcular os elementos da coluna k de L (abaixo da diagonal): l_{i,k}=\frac{a_{i,k}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{i,s}u_{s,k}}{u_{k,k}},\qquad i=k+1,\dots,n.
  • Depois de obter L e U resolvemos LU\mathbf{x}=\mathbf{b} em duas etapas:
    1. Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição direta (forward): y_1=b_1, y_i=b_i-\sum_{s=1}^{i-1} l_{i,s}y_s.
    2. Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição regressiva (backward): x_n=y_n/u_{n,n}, x_i=(y_i-\sum_{s=i+1}^n u_{i,s}x_s)/u_{i,i}.

Passo 3

Começamos aplicando o método ao nosso A. Inicialmente, para k=1:
  • u_{1,j}=a_{1,j} para j=1,\dots,4 (pois não há soma quando k=1): u_{11}=1,\quad u_{12}=1,\quad u_{13}=1,\quad u_{14}=1.
  • l_{i1}=a_{i1}/u_{11} para i=2,3,4: l_{21}=\frac{2}{1}=2,\quad l_{31}=\frac{1}{1}=1,\quad l_{41}=\frac{2}{1}=2.

Passo 4

Agora k=2. Calculamos os elementos da linha 2 de U:
  • Para j=2: u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3-2\cdot 1=1.
  • Para j=3: u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=1-2\cdot 1=-1.
  • Para j=4: u_{24}=a_{24}-l_{21}u_{14}=1-2\cdot 1=-1.
Agora calculamos l_{i2} para i=3,4:
  • i=3: l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}}=\frac{2-1\cdot 1}{1}=1.
  • i=4: l_{42}=\frac{a_{42}-l_{41}u_{12}}{u_{22}}=\frac{1-2\cdot 1}{1}=-1.

Passo 5

Agora k=3. Calculamos u_{33} e u_{34}:
  • u_{33}=a_{33}-\bigl(l_{31}u_{13}+l_{32}u_{23}\bigr)=3-(1\cdot 1 + 1\cdot(-1))=3-1+1=3.
  • u_{34}=a_{34}-\bigl(l_{31}u_{14}+l_{32}u_{24}\bigr)=1-(1\cdot1 + 1\cdot(-1))=1-1+1=1.
    Agora l_{43}:
l_{43}=\frac{a_{43}-\bigl(l_{41}u_{13}+l_{42}u_{23}\bigr)}{u_{33}} =\frac{2-(2\cdot1 + (-1)\cdot(-1))}{3}=\frac{2-(2+1)}{3}=\frac{-1}{3}.

Passo 6

Finalmente k=4. Só precisamos de u_{44}:
u_{44}=a_{44}-\bigl(l_{41}u_{14}+l_{42}u_{24}+l_{43}u_{34}\bigr) =3-\bigl(2\cdot1 + (-1)\cdot(-1) + (-\tfrac{1}{3})\cdot1\bigr).
Calcule a soma dentro dos parênteses:
2\cdot1 =2,\qquad (-1)\cdot(-1)=1,\qquad (-\tfrac{1}{3})\cdot1=-\tfrac{1}{3},
então a soma é 2+1-\tfrac{1}{3}=3-\tfrac{1}{3}=\tfrac{8}{3}. Logo
u_{44}=3-\tfrac{8}{3}=\tfrac{9}{3}-\tfrac{8}{3}=\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Reunindo os resultados, as matrizes L e U são:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & -\tfrac{1}{3} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resolvemos L\mathbf{y}=\mathbf{b}\) por substituição direta (forward substitution). Escrevendo as equações: \[\begin{cases} y_1=b_1,\\[4pt] y_2=b_2-l_{21}y_1,\\[4pt] y_3=b_3-l_{31}y_1-l_{32}y_2,\\[4pt] y_4=b_4-l_{41}y_1-l_{42}y_2-l_{43}y_3. \end{cases}
Substituindo números:
  • y_1=10.\] - \(y_2=14-2\cdot 10=14-20=-6.
    - y_3=13-1\cdot10-1\cdot(-6)=13-10+6=9.
    - y_4=17-2\cdot10-(-1)\cdot(-6)-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\cdot9.
    Calcule a soma: 2\cdot10=20,\;(-1)\cdot(-6)=6,\;(-\tfrac{1}{3})\cdot9=-3. Soma total 20+6-3=23.
    Então y_4=17-23=-6.
Portanto
\mathbf{y}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]-6\\[4pt]9\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]

Passo 9

Agora resolvemos U\mathbf{x}=\mathbf{y}\) por substituição regressiva (back substitution). Escrevemos as equações (de baixo para cima): \[\begin{cases} u_{44}x_4=y_4,\\[4pt] u_{33}x_3+u_{34}x_4=y_3,\\[4pt] u_{22}x_2+u_{23}x_3+u_{24}x_4=y_2,\\[4pt] u_{11}x_1+u_{12}x_2+u_{13}x_3+u_{14}x_4=y_1. \end{cases}
Substituindo valores:
  • u_{44}=\tfrac{1}{3}\] e \(y_4=-6 então \tfrac{1}{3}x_4=-6 \Rightarrow x_4=-6\cdot 3=-18.
  • Para x_3: 3x_3 + 1\cdot x_4 = 9 \Rightarrow 3x_3 -18 =9 \Rightarrow 3x_3=27 \Rightarrow x_3=9.
  • Para x_2: 1\cdot x_2 + (-1)\cdot x_3 + (-1)\cdot x_4 = -6.
    Substituindo x_3=9,\\ x_4=-18:
    x_2 -9 +18 = -6 \Rightarrow x_2+9=-6 \Rightarrow x_2=-15.
  • Para x_1: 1\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 1\cdot x_3 + 1\cdot x_4 = 10.
    Substituindo x_2=-15,\\ x_3=9,\\ x_4=-18:
    x_1 -15 +9 -18 =10 \Rightarrow x_1 -24 =10 \Rightarrow x_1=34.
Portanto a solução é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}34\\[4pt]-15\\[4pt]9\\[4pt]-18\end{pmatrix}.]

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & -\tfrac{1}{3} & 1 \end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}34\\[4pt]-15\\[4pt]9\\[4pt]-18\end{pmatrix}]

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