usando fatoração LU sem pivotamento parcial. Devemos apresentar as matrizes L e U (onde A=LU, com L triangular inferior com diagonais iguais a 1 e U triangular superior) e o vetor solução \mathbf{x}=(x,y,z,w)^T.
Breve aula sobre fatoração LU (método Doolittle) — sem jargões complicados:
A ideia é escrever A=LU, com L triangular inferior com 1s na diagonal e U triangular superior.
Algoritmo (para matriz n\times n):
Para k=1,\dots,n calcular primeiro os elementos da linha k de U:u_{k,j}=a_{k,j}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{k,s}u_{s,j},\qquad j=k,\dots,n.
Depois calcular os elementos da coluna k de L (abaixo da diagonal):l_{i,k}=\frac{a_{i,k}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{i,s}u_{s,k}}{u_{k,k}},\qquad i=k+1,\dots,n.
Depois de obter L e U resolvemos LU\mathbf{x}=\mathbf{b} em duas etapas:
Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição direta (forward): y_1=b_1, y_i=b_i-\sum_{s=1}^{i-1} l_{i,s}y_s.
Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição regressiva (backward): x_n=y_n/u_{n,n}, x_i=(y_i-\sum_{s=i+1}^n u_{i,s}x_s)/u_{i,i}.
Passo 3
Começamos aplicando o método ao nosso A. Inicialmente, para k=1:
u_{1,j}=a_{1,j} para j=1,\dots,4 (pois não há soma quando k=1):u_{11}=1,\quad u_{12}=1,\quad u_{13}=1,\quad u_{14}=1.
l_{i1}=a_{i1}/u_{11} para i=2,3,4:l_{21}=\frac{2}{1}=2,\quad l_{31}=\frac{1}{1}=1,\quad l_{41}=\frac{2}{1}=2.
Passo 4
Agora k=2. Calculamos os elementos da linha 2 de U:
Para j=2:u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3-2\cdot 1=1.
Para j=3:u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=1-2\cdot 1=-1.
Para j=4:u_{24}=a_{24}-l_{21}u_{14}=1-2\cdot 1=-1.
Agora resolvemos U\mathbf{x}=\mathbf{y}\) por substituição regressiva (back substitution).
Escrevemos as equações (de baixo para cima):
\[\begin{cases} u_{44}x_4=y_4,\\[4pt] u_{33}x_3+u_{34}x_4=y_3,\\[4pt] u_{22}x_2+u_{23}x_3+u_{24}x_4=y_2,\\[4pt] u_{11}x_1+u_{12}x_2+u_{13}x_3+u_{14}x_4=y_1. \end{cases}
Substituindo valores:
u_{44}=\tfrac{1}{3}\] e \(y_4=-6 então \tfrac{1}{3}x_4=-6 \Rightarrow x_4=-6\cdot 3=-18.