Construa uma tabela para determinar o valor de e^x para xk=k / 5, k=0,1, ldots, 5 e determine o valor aproximado de e^0,23 usando: Calcular um limitante superior para o erro.

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente montar uma tabelinha de
e calcular os valores de . Depois usar algum método de interpolação para aproximar e ainda achar um limitante superior pro erro dessa aproximação. O conteúdo que vamos usar é:
  • Definição de interpolação linear (polinômio de Lagrange de grau 1).
  • Fórmula do resto (erro) na forma de Lagrange.

Passo 2

Montando a tabela de e (aproximado até 6 casas):
k
0 0.0 1.000000
1 0.2 1.221403
2 0.4 1.491825
3 0.6 1.822119
4 0.8 2.225541
5 1.0 2.718282

Passo 3

Como P1(x) ;=; e^0.2,x-0.40.2-0.4;+;e^0.4,x-0.20.4-0.2 está entre 0.2 e 0.4, a gente usa interpolação linear nesses dois pontos. O polinômio de Lagrange de grau 1 é
P1(0.23) =1.221403cdot0.23-0.4-0.2 +1.491825cdot0.23-0.20.2 approx1.261965
Substituindo e^0.23approx P1(0.23)=1.261965 :
Então a nossa aproximação é

Passo 4

Agora o limitante superior do erro vem da fórmula do resto de Lagrange para grau 1:
R1(x) =f''(xi)2!,(x-0.2)(x-0.4),
para algum |f''(xi)|<= e^0.4approx1.491825 entre 0.2 e 0.4. Como |R1(0.23)|<=e^0.42,l|0.23-0.2r|;l|0.23-0.4r| =1.4918252times0.03times0.17 approx0.00380 , temos , que é crescente, então
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Resposta

Aproximação:
Limitante superior do erro: .

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