Seja f(x)=2 e^x+3 definida no intervalo [0,2]. Aproxime f(0,35) e f(0,85) utilizando um polinômio, fórmula de Lagrange de grau 2, com os pontos x0=0, x1=1, x2=2.

Passo 1

Então, o exercício pede para aproximar os valores de
x0=0, x1=1, x2=2 nos pontos e usando o polinômio de interpolação de Lagrange de grau 2 nos nós
O conteúdo aqui é “Interpolação Polinomial”, mais especificamente a “Fórmula de Lagrange”. Para resolver, precisamos:
  1. Calcular nos três nós.
  2. Montar as bases de Lagrange , , .
  3. Construir o polinômio .
  4. Avaliar e .

Passo 2

Primeiro, a teoria rapidinha: um polinômio de Lagrange de grau 2 que passe pelos pontos P2(x)=sumi=0^2 fi,Li(x), é
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj
onde
f0 &= f(0) = 2e^0 + 3 = 2cdot1 + 3 = 5, f1 &= f(1) = 2e^1 + 3 = 2e + 3 approx 8,43656, f2 &= f(2) = 2e^2 + 3 = 2cdot7,38906 + 3 approx 17,77812
Agora, calculemos os valores :

Passo 3

Vamos montar as funções base L0(x) =(x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) =(x-1)(x-2)(0-1)(0-2) =(x-1)(x-2)2 , L1(x) =(x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) =x(x-2)(1-0)(1-2) =-,x(x-2) = x(2-x) e L2(x) =(x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) =x(x-1)(2-0)(2-1) =x(x-1)2 :
  1. Para P2(x) =5,L0(x);+;(2e+3),L1(x);+;17,77812,L2(x) :
  1. Para :
  1. Para :
Portanto, o polinômio de interpolação é

Passo 4

Agora é só avaliar em L0(0,35) &= (0,35-1)(0,35-2)2 = (-0,65)(-1,65)2 =0,53625, L1(0,35) &= 0,35,(2-0,35)=0,5775, L2(0,35) &= 0,35,(0,35-1)2 = -0,11375 e P2(0,35) =5cdot0,53625 ;+;8,43656cdot0,5775;+;17,77812cdot(-0,11375) approx 5,5293 . Vamos fazer passo a passo:
Para L0(0,85) &= (0,85-1)(0,85-2)2 =0,08625, L1(0,85) &= 0,85,(2-0,85)=0,9775, L2(0,85) &= 0,85,(0,85-1)2 =-0,06375 :
P2(0,85) =5cdot0,08625 ;+;8,43656cdot0,9775;+;17,77812cdot(-0,06375) approx 7,5446
Então
Para :
Então

Resposta

Aproximações obtidas pelo polinômio de Lagrange de grau 2:
boxedf(0,35)approx 5,5293, f(0,85)approx 7,5446

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