Obtenha o polinômio interpolador, fórmula de Newton, para as funções abaixo, e avalie o erro cometido para o ponto a ser interpolado barx=1,23: f(x)=e^3 x sin (x), x0=1,2, x1=1,7 e x2=0,5.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente achar o polinômio interpolador de Newton de grau 2 para
f(x)=e^3xsin(x)
nos pontos
x0=1,2, x1=1,7, x2=0,5
e depois avaliar o erro que rolou ao aproximar em bar x=1,23.
Isso é um caso de interpolação por diferenças divididas (fórmula de Newton) e, pra erro, a gente vai usar a diferença entre o valor exato f(bar x) e o valor aproximado P2(bar x).
Material que vamos usar:
  • Cálculo de f(xi) nos três pontos
  • Diferenças divididas de 1ª e 2ª ordem
  • Fórmula do polinômio de Newton de grau 2
  • Avaliação em bar x e cálculo do erro absoluto |f(bar x)-P2(bar x)|.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os valores
f(x0)=f(1,2)=e^3cdot1.2sin(1.2), f(x1)=f(1,7)=e^3cdot1.7sin(1.7), f(x2)=f(0,5)=e^3cdot0.5sin(0.5)
Calculando (aproximando):
e^3.6approx36,5982, sin(1.2)approx0,9320Longrightarrow f(1.2)approx36,5982cdot0,9320approx34,125
e^5.1approx164,0219, sin(1.7)approx0,9917Longrightarrow f(1.7)approx164,0219cdot0,9917approx162,60
e^1.5approx4,4817, sin(0.5)approx0,4794Longrightarrow f(0.5)approx4,4817cdot0,4794approx2,147

Passo 3

Agora calculamos as diferenças divididas:
1ª ordem
$$f[x_0,x_1]=\frac{f(1.7)-f(1.2)}{1.7-1.2}
=\frac{162{,}60-34{,}125}{0{,}5}\approx\frac{128{,}475}{0{,}5}\approx256{,}95,$$
$$f[x_1,x_2]=\frac{f(0.5)-f(1.7)}{0.5-1.7}
=\frac{2{,}147-162{,}60}{-1{,}2}\approx\frac{-160{,}453}{-1{,}2}\approx133{,}71. f[x0,x1]=f(1.7)-f(1.2)1.7-1.2 =162,60-34,1250,5approx128,4750,5approx256,95,ªf[x_0,x_1,x_2]
=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}
=\frac{133{,}71-256{,}95}{0{,}5-1{,}2}
=\frac{-123{,}24}{-0{,}7}\approx176{,}06.$$
O polinômio de Newton de grau 2 (na ordem f[x1,x2]=f(0.5)-f(1.7)0.5-1.7 =2,147-162,60-1,2approx-160,453-1,2approx133,71) é
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =133,71-256,950,5-1,2 =-123,24-0,7approx176,06
Substituindo os números:
x0,x1,x2

Passo 4

Vamos aproximar em bar x=1,23:
P2(1.23) =34,125 +256,95,(1.23-1.2) +176,06,(1.23-1.2)(1.23-1.7)
Calculemos passo a passo:
1.23-1.2=0.03,1.23-1.7=-0.47,
256.95cdot0.03approx7.7085,
176.06cdot(0.03cdot(-0.47))=176.06cdot(-0.0141)approx-2.484
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P2(1.23)approx34.125+7.7085-2.484approx39.349

Passo 5

Agora o valor “exato” em 1.23 é
f(1.23)=e^3cdot1.23sin(1.23) =e^3.69sin(1.23) approx40.045cdot0.9425approx37.742
O erro absoluto é
l|f(1.23)-P2(1.23)r| approxl|37.742-39.349r| approx1.607

Resposta

Polinômio de Newton de grau 2:
P2(x)=34,125 +256,95,(x-1.2) +176,06,(x-1.2)(x-1.7)
Erro aproximado em bar x=1.23:
|f(1.23)-P2(1.23)|approx1,61

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