- Construa a tabela de diferenças divididas até a ordem 3 (usando
,
).
- Determine o polinômio interpolador cúbico
na forma de Newton.
- Estime
usando
.
- Forneça uma estimativa do erro
utilizando
diferenças divididas de ordem
.
Suponha que a diferença dividida de ordem 4 seja aproximadamente
.
Observação: Sempre que possível, mantenha frações durante os cálculos e arredonde apenas ao final das contas numéricas.
A tabela abaixo fornece dados experimentais da resistência elétrica
(em
) de um condutor em função da temperatura
(em
):
0
40
80
120
100,0
113,0
126,8
141,5
|
|
0 | 40 | 80 | 120 |
|
|
100,0 | 113,0 | 126,8 | 141,5 |
Passo 1
O exercício pede quatro coisas:
- Construir a tabela de diferenças divididas até a ordem 3 usando os pontos
, , , com os valores , , , . - Determinar o polinômio interpolador cúbico
na forma de Newton. - Estimar
usando . - Fornecer uma estimativa do erro
usando a desigualdade dada e a informação de que a diferença dividida de ordem 4 é aproximadamente .
Informações fornecidas (dados do enunciado):
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Explico o que é diferença dividida e calculo a tabela passo a passo.
Definições e fórmulas (fáceis e úteis):
- Diferença dividida de primeira ordem entre
e :
- Diferença dividida de segunda ordem:
- Diferença dividida de terceira ordem:
Agora calculamos os valores usando os dados (mantendo frações quando possível).
Valores de ordem 0 (valores da função):
Diferenças divididas de primeira ordem:
Diferenças divididas de segunda ordem:
Diferença dividida de terceira ordem:
Em decimal isso é aproximadamente
.
Com isso, a tabela (resumida) de diferenças divididas até ordem 3 é obtida — os valores chave já foram calculados acima.]
Passo 3
Agora escrevemos o polinômio interpolador cúbico na forma de Newton. A forma de Newton para quatro nós
é
Substituindo os valores calculados:
Expliquei: cada coeficiente é uma diferença dividida. Essa forma é ótima para avaliar em um ponto usando a regra de Horner adaptada para produtos (multiplicando termo a termo).
Passo 4
Estimativa de
. Vamos calcular substituindo
. Mantenho frações até o final.
Termos:
Calcule o termo 3:
Somando tudo (mantendo frações e só arredondando no final se necessário):
Colocando em denominador comum
:
Soma:
Portanto a estimativa é
. (Arredondando,
.)]
Passo 5
Estimativa do erro
usando a desigualdade fornecida:
No problema foi dado que a máxima diferença dividida de ordem 4 é aproximadamente
. Substituímos
:
Multiplicando pelo máximo
:
Observação rápida (motivacional): esse é um limite grosseiro (conservador). Não significa que o erro real seja tão grande; é apenas um teto obtido pela desigualdade dada. Na prática o erro real costuma ser muito menor, como se vê pelo ajuste razoável dos pontos.
Resposta
- Tabela de diferenças divididas (valores principais):
, , , ; , , ; , ; . -
-
(aprox. ). - Estimativa do erro:
.