1. Construa a tabela de diferenças divididas até a ordem 3 (usando T_{0}=0, T_{1}=40, T_{2}=80, T_{3}=120 ).
  2. Determine o polinômio interpolador cúbico P_{3}(T) na forma de Newton.
  3. Estime R(60) usando P_{3}.
  4. Forneça uma estimativa do erro \left|E_{3}(60)\right| utilizando
    \left|E_{3}(x)\right| \leq\left|\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\right| \cdot \max \{\mid diferenças divididas de ordem 4 \mid\}.
Suponha que a diferença dividida de ordem 4 seja aproximadamente 5 \times 10^{-5}.
Observação: Sempre que possível, mantenha frações durante os cálculos e arredonde apenas ao final das contas numéricas.
A tabela abaixo fornece dados experimentais da resistência elétrica R (em \Omega ) de um condutor em função da temperatura T (em { }^{\circ} \mathrm{C} ):
T 0 40 80 120
R(T) 100,0 113,0 126,8 141,5

Passo 1

O exercício pede quatro coisas:
  1. Construir a tabela de diferenças divididas até a ordem 3 usando os pontos T_{0}=0, T_{1}=40, T_{2}=80, T_{3}=120 com os valores R(0)=100{,}0, R(40)=113{,}0, R(80)=126{,}8, R(120)=141{,}5.
  2. Determinar o polinômio interpolador cúbico P_{3}(T) na forma de Newton.
  3. Estimar R(60) usando P_{3}.
  4. Fornecer uma estimativa do erro \left|E_{3}(60)\right| usando a desigualdade dada e a informação de que a diferença dividida de ordem 4 é aproximadamente 5\times 10^{-5}.
Informações fornecidas (dados do enunciado):
\begin{aligned} T_0&=0,\quad R(T_0)=100{,}0,\\\ T_1&=40,\quad R(T_1)=113{,}0,\\\ T_2&=80,\quad R(T_2)=126{,}8,\\\ T_3&=120,\quad R(T_3)=141{,}5. \end{aligned}
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Explico o que é diferença dividida e calculo a tabela passo a passo.
Definições e fórmulas (fáceis e úteis):
  • Diferença dividida de primeira ordem entre x_i e x_{i+1}:
f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
  • Diferença dividida de segunda ordem:
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}.
  • Diferença dividida de terceira ordem:
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}]-f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]}{x_{i+3}-x_i}.
Agora calculamos os valores usando os dados (mantendo frações quando possível).
Valores de ordem 0 (valores da função):
\begin{aligned} f[x_0] &= f(T_0)=100{,}0,\\\ f[x_1] &= f(T_1)=113{,}0,\\\ f[x_2] &= f(T_2)=126{,}8,\\\ f[x_3] &= f(T_3)=141{,}5. \end{aligned}
Diferenças divididas de primeira ordem:
\begin{aligned} f[x_0,x_1] &= \frac{113{,}0-100{,}0}{40-0}=\frac{13}{40}=0{,}325,\\[4pt] f[x_1,x_2] &= \frac{126{,}8-113{,}0}{80-40}=\frac{13{,}8}{40}=\frac{69}{200}=0{,}345,\\[4pt] f[x_2,x_3] &= \frac{141{,}5-126{,}8}{120-80}=\frac{14{,}7}{40}=\frac{147}{400}=0{,}3675. \end{aligned}
Diferenças divididas de segunda ordem:
\begin{aligned} f[x_0,x_1,x_2] &= \frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{80-0} = \frac{\frac{69}{200}-\frac{13}{40}}{80}.\\\ \text{Note que }\frac{13}{40}=\frac{65}{200},\quad\frac{69}{200}-\frac{65}{200}=\frac{4}{200}=\frac{1}{50}.\\\ \text{Logo }f[x_0,x_1,x_2] &= \frac{\tfrac{1}{50}}{80}=\frac{1}{4000}=0{,}00025. \end{aligned}
\begin{aligned} f[x_1,x_2,x_3] &= \frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{120-40} = \frac{0{,}3675-0{,}345}{80}=\frac{0{,}0225}{80}.\\\ \text{Observe }0{,}0225=\frac{9}{400},\quad\text{então }f[x_1,x_2,x_3]=\frac{\tfrac{9}{400}}{80}=\frac{9}{32\,000}=0{,}00028125. \end{aligned}ã
Diferença dividida de terceira ordem:
\begin{aligned} f[x_0,x_1,x_2,x_3] &= \frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{120-0} = \frac{\tfrac{9}{32\,000}-\tfrac{1}{4\,000}}{120}.\\\ \text{Colocando denominador comum }32\,000:\\ \tfrac{1}{4\,000}=\tfrac{8}{32\,000}.\\\ \text{Logo a diferença do numerador é }\tfrac{9-8}{32\,000}=\tfrac{1}{32\,000}.\\\ \text{Portanto }f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{\tfrac{1}{32\,000}}{120}=\frac{1}{3\,840\,000}. \end{aligned}çé
Em decimal isso é aproximadamente 2{,}6041667\times 10^{-7}.
Com isso, a tabela (resumida) de diferenças divididas até ordem 3 é obtida — os valores chave já foram calculados acima.]

Passo 3

Agora escrevemos o polinômio interpolador cúbico na forma de Newton. A forma de Newton para quatro nós T_0,T_1,T_2,T_3 é
P_3(T)=f[x_0]+f[x_0,x_1](T-T_0)+f[x_0,x_1,x_2](T-T_0)(T-T_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](T-T_0)(T-T_1)(T-T_2).
Substituindo os valores calculados:
\boxed{% P_3(T)=100{,}0+\frac{13}{40}(T-0)+\frac{1}{4000}(T-0)(T-40)+\frac{1}{3\,840\,000}(T-0)(T-40)(T-80). }
Expliquei: cada coeficiente é uma diferença dividida. Essa forma é ótima para avaliar em um ponto usando a regra de Horner adaptada para produtos (multiplicando termo a termo).

Passo 4

Estimativa de R(60)=P_3(60). Vamos calcular substituindo T=60. Mantenho frações até o final.
Termos:
\begin{aligned} \text{Termo 0} &= 100{,}0,\\[4pt] \text{Termo 1} &= \frac{13}{40}(60-0)=\frac{13}{40}\cdot 60=\frac{13\cdot 60}{40}=\frac{39}{2}=19{,}5,\\[4pt] \text{Termo 2} &= \frac{1}{4000}(60-0)(60-40)=\frac{1}{4000}\cdot 60\cdot 20=\frac{1200}{4000}=\frac{3}{10}=0{,}3,\\[4pt] \text{Termo 3} &= \frac{1}{3\,840\,000}(60-0)(60-40)(60-80) =\frac{1}{3\,840\,000}\cdot 60\cdot 20\cdot(-20). \end{aligned}
Calcule o termo 3:
60\cdot 20\cdot(-20)=-24\,000,\quad\text{então}\quad \text{Termo 3}=\frac{-24\,000}{3\,840\,000}=-\frac{1}{160}=-0{,}00625.ã
Somando tudo (mantendo frações e só arredondando no final se necessário):
P_3(60)=100{,}0+\frac{39}{2}+\frac{3}{10}-\frac{1}{160}.
Colocando em denominador comum 160:
100{,}0=\frac{16\,000}{160},\quad \frac{39}{2}=\frac{3\,120}{160},\quad \frac{3}{10}=\frac{48}{160},\quad -\frac{1}{160}=-\frac{1}{160}.
Soma:
P_3(60)=\frac{16\,000+3\,120+48-1}{160}=\frac{19\,167}{160}=119{,}79375\\ \Omega.
Portanto a estimativa é R(60)\approx 119{,}79375\\ \Omega. (Arredondando, 119{,}794\\ \Omega.)]

Passo 5

Estimativa do erro \left|E_{3}(60)\right| usando a desigualdade fornecida:
\left|E_{3}(x)\right| \le \left| (x-T_0)(x-T_1)(x-T_2)(x-T_3)\right|\cdot \max\{\mid\text{diferenças divididas de ordem 4}\mid\}.ç
No problema foi dado que a máxima diferença dividida de ordem 4 é aproximadamente 5\times 10^{-5}. Substituímos x=60:
\begin{aligned} \left|(60-0)(60-40)(60-80)(60-120)\right| &=|60\cdot 20\cdot(-20)\cdot(-60)|\\\ &=60\cdot 20\cdot 20\cdot 60=1\,440\,000. \end{aligned}
Multiplicando pelo máximo 5\times 10^{-5}:
\left|E_{3}(60)\right| \le 1\,440\,000 \cdot 5\times 10^{-5}=72\\ \Omega.
Observação rápida (motivacional): esse é um limite grosseiro (conservador). Não significa que o erro real seja tão grande; é apenas um teto obtido pela desigualdade dada. Na prática o erro real costuma ser muito menor, como se vê pelo ajuste razoável dos pontos.

Resposta

  1. Tabela de diferenças divididas (valores principais): f[x_0]=100{,}0, f[x_1]=113{,}0, f[x_2]=126{,}8, f[x_3]=141{,}5; f[x_0,x_1]=\tfrac{13}{40}=0{,}325, f[x_1,x_2]=\tfrac{69}{200}=0{,}345, f[x_2,x_3]=\tfrac{147}{400}=0{,}3675; f[x_0,x_1,x_2]=\tfrac{1}{4\,000}=0{,}00025, f[x_1,x_2,x_3]=\tfrac{9}{32\,000}=0{,}00028125; f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\tfrac{1}{3\,840\,000}\approx 2{,}6041667\times 10^{-7}.
  2. P_{3}(T)=100{,}0+\dfrac{13}{40}(T-0)+\dfrac{1}{4\,000}(T-0)(T-40)+\dfrac{1}{3\,840\,000}(T-0)(T-40)(T-80).
  3. P_{3}(60)=\dfrac{19\,167}{160}=119{,}79375\\ \Omega (aprox. 119{,}794\\ \Omega).
  4. Estimativa do erro: \left|E_{3}(60)\right|\le 1\,440\,000\cdot 5\times 10^{-5}=72\\ \Omega.

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