8 Construa uma tabela para a função
usando os pontos 0,
; 1,3. Estime o valor de sen(1,15) usando um polinômio de
grau.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: construir uma tabela da função
nos pontos dados e, a partir desses valores, estimar
usando um polinômio de
grau.
Pontos fornecidos: .
Dados: a função é (ângulos em radianos). A estimativa pedida é o valor aproximado de
usando um polinômio cúbico interpolador.
Pontos fornecidos:
Dados: a função é
Passo 2
Primeiro construímos a tabela de valores
e
nos pontos dados. Vou calcular e apresentar os valores numéricos de
(usei precisão típica de tabela). A tabela (cada linha mostra o par
):
Esses são os valores da função nos pontos solicitados — já temos a “matriz” de dados pronta para interpolar.
Passo 3
Agora vamos estimar
com um polinômio de grau 3. Vou explicar e usar o método das diferenças divididas de Newton, porque é bem direto para construir polinômios interpoladores e facilita avaliar o polinômio num ponto (poucos cálculos manuais).
Escolho como nós (pontos) os quatro valores mais próximos de :
,
,
,
. Esses quatro pontos são simétricos em torno de
(distâncias
,
,
,
), portanto devem dar boa estimativa local.
Escolho como nós (pontos) os quatro valores mais próximos de
Passo 4
Breve aula: diferenças divididas de Newton — o que é e por que funciona (passo-a-passo sem jargões).
- Temos nós
e valores . Definimos a primeira diferença dividida por
- A segunda diferença dividida é
e assim por diante.
- O polinômio de Newton de grau 3 fica
Cada coeficiente
é uma diferença dividida; vou calcular todos.
Passo 5
Calculemos as diferenças divididas usando os valores de
em
,
,
,
.
Valores base:
Primeiras diferenças divididas (denominador
):
Passo 6
Segundas diferenças (denominador
):
Passo 7
Terceira diferença (denominador
):
Agora temos todos os coeficientes para o polinômio de Newton.
Passo 8
Escrevendo o polinômio cúbico de Newton com os coeficientes calculados:
(Expliquei antes o porquê da forma; cada termo multiplica um fator a mais
.)
Passo 9
Avaliação em
. Calcule os fatores:
Agora cada termo:
Termo constante:
Termo linear:
Termo quadrático:
Termo cúbico:
Calcule o produto dos parênteses:
. Então
Somando os termos:
Fazendo a soma:
Passo 10
Interpretação rápida e incentivo: esse valor é a estimativa obtida pelo polinômio interpolador cúbico usando os quatro pontos mais próximos; o método é direto de aplicar em prova e dá boa precisão localmente. Se quiser, dá para comparar com o valor real de
usando calculadora — o polinômio cúbico costuma aproximar bem em intervalos pequenos como este. Segue a resposta final abaixo.