8 Construa uma tabela para a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x}) usando os pontos 0, 8 ; 0,9 ; 1,0 ; 1,1 ; 1,2; 1,3. Estime o valor de sen(1,15) usando um polinômio de 3^{\circ} grau.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: construir uma tabela da função \operatorname{sen}(x) nos pontos dados e, a partir desses valores, estimar \operatorname{sen}(1,15) usando um polinômio de 3^{\circ} grau.
Pontos fornecidos: x=0,8;\;0,9;\;1,0;\;1,1;\;1,2;\;1,3.
Dados: a função é \operatorname{sen}(x) (ângulos em radianos). A estimativa pedida é o valor aproximado de \operatorname{sen}(1,15) usando um polinômio cúbico interpolador.

Passo 2

Primeiro construímos a tabela de valores x e \operatorname{sen}(x) nos pontos dados. Vou calcular e apresentar os valores numéricos de \operatorname{sen}(x) (usei precisão típica de tabela). A tabela (cada linha mostra o par (x,\\ \operatorname{sen}(x))):
x=0,8,\\ \operatorname{sen}(x)=0,7173560908995228
x=0,9,\\ \operatorname{sen}(x)=0,7833269096274834
x=1,0,\\ \operatorname{sen}(x)=0,8414709848078965
x=1,1,\\ \operatorname{sen}(x)=0,8912073600614354
x=1,2,\\ \operatorname{sen}(x)=0,9320390859672263
x=1,3,\\ \operatorname{sen}(x)=0,9635581854171930
Esses são os valores da função nos pontos solicitados — já temos a “matriz” de dados pronta para interpolar.

Passo 3

Agora vamos estimar \operatorname{sen}(1,15) com um polinômio de grau 3. Vou explicar e usar o método das diferenças divididas de Newton, porque é bem direto para construir polinômios interpoladores e facilita avaliar o polinômio num ponto (poucos cálculos manuais).
Escolho como nós (pontos) os quatro valores mais próximos de 1,15: x_0=1,0, x_1=1,1, x_2=1,2, x_3=1,3. Esses quatro pontos são simétricos em torno de 1,15 (distâncias 0,15, 0,05, 0,05, 0,15), portanto devem dar boa estimativa local.

Passo 4

Breve aula: diferenças divididas de Newton — o que é e por que funciona (passo-a-passo sem jargões).
  • Temos nós x_0,x_1,\dots e valores f(x_i). Definimos a primeira diferença dividida por
f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
  • A segunda diferença dividida é
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}] - f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i},
e assim por diante.
  • O polinômio de Newton de grau 3 fica
P_3(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Cada coeficiente f[\cdots] é uma diferença dividida; vou calcular todos.

Passo 5

Calculemos as diferenças divididas usando os valores de f(x)=\operatorname{sen}(x) em x_0=1,0, x_1=1,1, x_2=1,2, x_3=1,3.
Valores base:
f(x_0)=\operatorname{sen}(1,0)=0,8414709848078965,
f(x_1)=\operatorname{sen}(1,1)=0,8912073600614354,
f(x_2)=\operatorname{sen}(1,2)=0,9320390859672263,
f(x_3)=\operatorname{sen}(1,3)=0,9635581854171930.
Primeiras diferenças divididas (denominador x_{i+1}-x_i=0,1):
f[x_0,x_1]=\frac{0,8912073600614354-0,8414709848078965}{0,1}=0,4973637525353886,
f[x_1,x_2]=\frac{0,9320390859672263-0,8912073600614354}{0,1}=0,4083172590579092,
f[x_2,x_3]=\frac{0,9635581854171930-0,9320390859672263}{0,1}=0,3151909944996673.

Passo 6

Segundas diferenças (denominador x_{i+2}-x_i=0,2):
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{0,4083172590579092-0,4973637525353886}{0,2}=-0,4452324673873971,
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{0,3151909944996673-0,4083172590579092}{0,2}=-0,4656313227912094.

Passo 7

Terceira diferença (denominador x_3-x_0=0,3):
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{-0,4656313227912094-(-0,4452324673873971)}{0,3}=-0,06799618467937446.
Agora temos todos os coeficientes para o polinômio de Newton.

Passo 8

Escrevendo o polinômio cúbico de Newton com os coeficientes calculados:
P_3(x)=0,8414709848078965 +0,4973637525353886\,(x-1,0) -0,4452324673873971\,(x-1,0)(x-1,1) -0,06799618467937446\,(x-1,0)(x-1,1)(x-1,2).
(Expliquei antes o porquê da forma; cada termo multiplica um fator a mais (x-x_j).)

Passo 9

Avaliação em x=1,15. Calcule os fatores:
x-1,0=0,15,\quad x-1,1=0,05,\quad x-1,2=-0,05.
Agora cada termo:
Termo constante:
T_0=0,8414709848078965.
Termo linear:
T_1=0,4973637525353886\cdot 0,15=0,07460456288030829.
Termo quadrático:
T_2=-0,4452324673873971\cdot(0,15)(0,05)=-0,4452324673873971\cdot 0,0075=-0,003339243505905478.
Termo cúbico:
T_3=-0,06799618467937446\cdot(0,15)(0,05)(-0,05).
Calcule o produto dos parênteses: (0,15)(0,05)(-0,05)=-0,000375. Então
T_3=-0,06799618467937446\cdot(-0,000375)=+0,000025498569255766.
Somando os termos:
P_3(1,15)=T_0+T_1+T_2+T_3 =0,8414709848078965+0,07460456288030829-0,003339243505905478+0,000025498569255766.
Fazendo a soma:
P_3(1,15)\approx 0,9127618027515551.

Passo 10

Interpretação rápida e incentivo: esse valor é a estimativa obtida pelo polinômio interpolador cúbico usando os quatro pontos mais próximos; o método é direto de aplicar em prova e dá boa precisão localmente. Se quiser, dá para comparar com o valor real de \operatorname{sen}(1,15) usando calculadora — o polinômio cúbico costuma aproximar bem em intervalos pequenos como este. Segue a resposta final abaixo.

Resposta

x=0,8,\\ \operatorname{sen}(x)=0,7173560908995228
x=0,9,\\ \operatorname{sen}(x)=0,7833269096274834
x=1,0,\\ \operatorname{sen}(x)=0,8414709848078965
x=1,1,\\ \operatorname{sen}(x)=0,8912073600614354
x=1,2,\\ \operatorname{sen}(x)=0,9320390859672263
x=1,3,\\ \operatorname{sen}(x)=0,9635581854171930
\operatorname{sen}(1,15)\approx 0,9127618027515551

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