6 Seja
dada na forma tabelar
0,20
0,34
0,40
0,52
0,60
0,72
0,16
0,22
0,27
0,29
0,32
0,37
Obtenha
usando um polinômio de grau 2 .
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0,20 | 0,34 | 0,40 | 0,52 | 0,60 | 0,72 |
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0,16 | 0,22 | 0,27 | 0,29 | 0,32 | 0,37 |
Passo 1
O enunciado pede que a partir da tabela de valores de
obtenhamos o valor de
usando um polinômio de grau 2 (quadrático). As informações da tabela são:
Pergunta explícita: calcular
usando um polinômio de grau 2 que interpola a função nos pontos escolhidos.
Passo 2
Escolhemos um polinômio quadrático que passe por três pontos distintos da tabela. Para minimizar erro, escolhemos pontos próximos de
:
,
e
. Os valores correspondentes são
Passo 3
Vou usar a fórmula de interpolação de Lagrange (método direto e didático para construir o polinômio que passa por três pontos). A ideia: o polinômio interpolador de grau 2 é
onde cada função base
anula os outros nós e vale
em
. As bases são
Explicando devagar: cada
é um quociente. No numerador está
para garantir que
se
. No denominador colocamos os mesmos fatores avaliados em
para normalizar
.
Passo 4
Vamos calcular
, ou seja, avaliar estas bases em
. Primeiro registro os números escolhidos:
Passo 5
Calculo de
. Substituindo:
Agora calcule passo a passo os termos:
Portanto
Passo 6
Calculo de
. Substituindo:
Calcule os termos:
Logo
Passo 7
Calculo de
. Substituindo:
Termos:
Assim
Passo 8
Verificação rápida (útil para confiança): as bases devem somar
em qualquer
(propriedade das bases de Lagrange para polinômios interpoladores). De fato,
Ótimo — sem erro aritmético até aqui.
Passo 9
Agora montamos
usando os valores
,
,
:
Substituindo os valores das bases:
Calcule cada termo:
Somando:
Em forma racional exata o resultado é