6 Seja \mathrm{f}(\mathrm{x}) dada na forma tabelar
\mathbf{x} 0,20 0,34 0,40 0,52 0,60 0,72
\mathbf{f}(\mathbf{x}) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37
Obtenha f(0,50) usando um polinômio de grau 2 .

Passo 1

O enunciado pede que a partir da tabela de valores de f obtenhamos o valor de f(0,50) usando um polinômio de grau 2 (quadrático). As informações da tabela são:
\begin{array}{c|c} x & f(x)\\\ \hline 0,20 & 0,16\\\\ 0,34 & 0,22\\\\ 0,40 & 0,27\\\\ 0,52 & 0,29\\\\ 0,60 & 0,32\\\\ 0,72 & 0,37 \end{array}
Pergunta explícita: calcular f(0,50) usando um polinômio de grau 2 que interpola a função nos pontos escolhidos.

Passo 2

Escolhemos um polinômio quadrático que passe por três pontos distintos da tabela. Para minimizar erro, escolhemos pontos próximos de x=0,50: x_0=0,40, x_1=0,52 e x_2=0,60. Os valores correspondentes são
f(x_0)=0,27,\quad f(x_1)=0,29,\quad f(x_2)=0,32.

Passo 3

Vou usar a fórmula de interpolação de Lagrange (método direto e didático para construir o polinômio que passa por três pontos). A ideia: o polinômio interpolador de grau 2 é
P(x)=f(x_0)\,L_0(x)+f(x_1)\,L_1(x)+f(x_2)\,L_2(x),
onde cada função base L_i(x) anula os outros nós e vale 1 em x_i. As bases são
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},\quad L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},\quad L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
Explicando devagar: cada L_i é um quociente. No numerador está (x-\text{outro nó})\cdot(x-\text{outro nó})óó para garantir que L_i(x_j)=0 se j\neq i. No denominador colocamos os mesmos fatores avaliados em x=x_i para normalizar L_i(x_i)=1.

Passo 4

Vamos calcular P(0,50), ou seja, avaliar estas bases em x=0,50. Primeiro registro os números escolhidos:
x_0=0,40,\; x_1=0,52,\; x_2=0,60,\; x=0,50.

Passo 5

Calculo de L_0(0,50). Substituindo:
L_0(0,50)=\frac{(0,50-0,52)(0,50-0,60)}{(0,40-0,52)(0,40-0,60)}.
Agora calcule passo a passo os termos:
0,50-0,52=-0,02,\quad 0,50-0,60=-0,10\quad\Rightarrow\quad\text{numerador}=(-0,02)(-0,10)=0,002.
0,40-0,52=-0,12,\quad 0,40-0,60=-0,20\quad\Rightarrow\quad\text{denominador}=(-0,12)(-0,20)=0,024.
Portanto
L_0(0,50)=\frac{0,002}{0,024}=\frac{1}{12}\approx0,0833333.

Passo 6

Calculo de L_1(0,50). Substituindo:
L_1(0,50)=\frac{(0,50-0,40)(0,50-0,60)}{(0,52-0,40)(0,52-0,60)}.
Calcule os termos:
0,50-0,40=0,10,\quad 0,50-0,60=-0,10\quad\Rightarrow\quad\text{numerador}=0,10\cdot(-0,10)=-0,01.
0,52-0,40=0,12,\quad 0,52-0,60=-0,08\quad\Rightarrow\quad\text{denominador}=0,12\cdot(-0,08)=-0,0096.
Logo
L_1(0,50)=\frac{-0,01}{-0,0096}=\frac{625}{600}=\frac{25}{24}\approx1,0416667.

Passo 7

Calculo de L_2(0,50). Substituindo:
L_2(0,50)=\frac{(0,50-0,40)(0,50-0,52)}{(0,60-0,40)(0,60-0,52)}.
Termos:
0,50-0,40=0,10,\quad 0,50-0,52=-0,02\quad\Rightarrow\quad\text{numerador}=0,10\cdot(-0,02)=-0,002.
0,60-0,40=0,20,\quad 0,60-0,52=0,08\quad\Rightarrow\quad\text{denominador}=0,20\cdot0,08=0,016.
Assim
L_2(0,50)=\frac{-0,002}{0,016}=-\frac{1}{8}=-0,125.

Passo 8

Verificação rápida (útil para confiança): as bases devem somar 1 em qualquer x (propriedade das bases de Lagrange para polinômios interpoladores). De fato,
\frac{1}{12}+\frac{25}{24}-\frac{1}{8}= \frac{2}{24}+\frac{25}{24}-\frac{3}{24}=\frac{24}{24}=1.
Ótimo — sem erro aritmético até aqui.

Passo 9

Agora montamos P(0,50) usando os valores f(x_0)=0,27, f(x_1)=0,29, f(x_2)=0,32:
P(0,50)=0,27\cdot L_0(0,50)+0,29\cdot L_1(0,50)+0,32\cdot L_2(0,50).
Substituindo os valores das bases:
P(0,50)=0,27\cdot\frac{1}{12}+0,29\cdot\frac{25}{24}+0,32\cdot\left(-\frac{1}{8}\right).
Calcule cada termo:
0,27\cdot\frac{1}{12}=\frac{27}{100}\cdot\frac{1}{12}=\frac{9}{400}=0,0225,
0,29\cdot\frac{25}{24}=\frac{29}{100}\cdot\frac{25}{24}=\frac{725}{2400}=\frac{29}{96}\approx0,30208333,
0,32\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)=-\frac{1}{25}=-0,04.
Somando:
P(0,50)=0,0225+0,30208333-0,04=0,28458333\ldots
Em forma racional exata o resultado é
P(0,50)=\frac{683}{2400}\approx0,28458333\ldots

Resposta

\displaystyle f(0,50)=\frac{683}{2400}\approx0,28458333

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