Construa a tábua da operação * sobre o conjunto E=a, b, c, d, sabendo que:
(i) b é o elemento neutro
(ii) o simétrico de a é a
(iii) o simétrico de c é d
(iv) a * c=d
(v) todos os elementos de E são regulares

Passo 1

Beleza, o que o exercício quer? A gente tem um conjunto
com uma operação “ ”. Ele dá umas pistas:
  1. é elemento neutro,
  2. o inverso (simétrico) de é ele próprio,
  3. o inverso de é ,
  4. ,
  5. todo mundo tem inverso (todos são “regulares”).
    Isso é basicamente a definição de um grupo finito: tem neutro, todo elemento tem inverso e fechamento. Nosso objetivo é montar a tábua de multiplicação .
Para resolver vamos precisar:
  • Saber usar o elemento neutro (preencher linha/coluna de ).
  • Usar a propriedade de inverso: se , multiplico dos lados por para descobrir produtos.
  • Reconhecer (e provar) que esse grupo de 4 elementos é cíclico (igual a ), o que torna a operação comutativa e fecha toda a tabela.

Passo 2

Primeiro, preenchemos tudo o que envolve o neutro b*x=xe x*b=x,. Se c|cccc *&a&b&c&dhline a&;a*a=b;&a*b=a;&a*c=d;&a*d=;?; b&b*a=a;&b*b=b;&b*c=c;&b*d=d c&c*a=;?;&c*b=c;&c*c=;?;&c*d=b d&d*a=;?;&d*b=d;&d*c=b;&d*d=;?; é neutro,
para todo . Então já podemos pôr:
(linha de ),
e também
(coluna de ).
Também da condição (ii) e (iii) e (iv) temos:
  • (porque é seu próprio inverso).
  • e .
  • .
Vamos montar a tabela parcial:

Passo 3

Agora usamos inversos pra encontrar alguns produtos faltantes.
Da equação
a*c=d,
multiplico à esquerda por a*(a*c)=a*d ;Longrightarrow; (a*a)*c = a*d ;Longrightarrow; b*c = a*d ;Longrightarrow; c = a*d . Mas boxeda*d = c , logo
Ou seja,
Isso já completa o espaço “ ”. Atualizando a linha de :
.

Passo 4

Agora vamos provar que a*c = c^-1 ;Longrightarrow; c*a*c = b ;Longrightarrow; (c*a)*c = b gera todo o conjunto (grupo cíclico de ordem 4).
  1. Já vimos que boxedc*c = a , isto é c^1=c, c^2=a, c^3 = c^2cdot c = acdot c = d, c^4 = c^3cdot c = dcdot c = b .
  2. Do item anterior, usando em , temos
mas esse caminho é meio tortuoso. Em vez disso, note:
  • .
  • Queremos . A única forma de dar neutro seria , mas aí seria seu próprio inverso, o que contraria “inverso de é ”. Então .
  • tampouco, pois isso faria .
    Logo só resta
Com isso:
Isso mostra que tem exatamente ordem 4 e gera todo . Logo é um grupo cíclico de ordem 4, que é necessariamente comutativo.

Passo 5

Como é comutativo, podemos usar simetria na tabela: c*a = a*c = d, d*a = a*d = c, d*d = ? . Falta agora só
d^2 = (c^3)^2 = c^6 = c^4+2 = c^4cdot c^2 = bcdot a = a
Mas c|cccc * & a & b & c & d hline a & b & a & d & c b & a & b & c & d c & d & c & a & b d & c & d & b & a , então
Logo .
Agora preenchemos tudo:

Resposta

A tábua final da operação “ c|cccc * & a & b & c & d hline a & b & a & d & c b & a & b & c & d c & d & c & a & b d & c & d & b & a ” em é
e de fato satisfaz todas as condições do enunciado.

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