Construa a tábua da operação
sobre o conjunto
, sabendo que:
(i)
é o elemento neutro
(ii) o simétrico de
é
(iii) o simétrico de
é
(iv)
(v) todos os elementos de
são regulares
(i)
(ii) o simétrico de
(iii) o simétrico de
(iv)
(v) todos os elementos de
Passo 1
Beleza, o que o exercício quer? A gente tem um conjunto
com uma operação “
”. Ele dá umas pistas:
-
é elemento neutro, - o inverso (simétrico) de
é ele próprio, - o inverso de
é , -
, - todo mundo tem inverso (todos são “regulares”).
Isso é basicamente a definição de um grupo finito: tem neutro, todo elemento tem inverso e fechamento. Nosso objetivo é montar a tábua de multiplicação.
Para resolver vamos precisar:
- Saber usar o elemento neutro (preencher linha/coluna de
). - Usar a propriedade de inverso: se
, multiplico dos lados por para descobrir produtos. - Reconhecer (e provar) que esse grupo de 4 elementos é cíclico (igual a
), o que torna a operação comutativa e fecha toda a tabela.
Passo 2
Primeiro, preenchemos tudo o que envolve o neutro
. Se
é neutro,
para todo
. Então já podemos pôr:
(linha de
),
e também
(coluna de
).
e também
Também da condição (ii) e (iii) e (iv) temos:
-
(porque é seu próprio inverso). -
e . -
.
Vamos montar a tabela parcial:
Passo 3
Agora usamos inversos pra encontrar alguns produtos faltantes.
Da equação
Da equação
multiplico à esquerda por
. Mas
, logo
Ou seja,
Isso já completa o espaço “
”. Atualizando a linha de
:
Passo 4
Agora vamos provar que
gera todo o conjunto (grupo cíclico de ordem 4).
- Já vimos que
, isto é . - Do item anterior, usando
em , temos
mas esse caminho é meio tortuoso. Em vez disso, note:
-
. - Queremos
. A única forma de dar neutro seria , mas aí seria seu próprio inverso, o que contraria “inverso de é ”. Então . -
tampouco, pois isso faria .
Logo só resta
Com isso:
Isso mostra que
tem exatamente ordem 4 e gera todo
. Logo
é um grupo cíclico de ordem 4, que é necessariamente comutativo.
Passo 5
Como é comutativo, podemos usar simetria na tabela:
. Falta agora só
Mas
, então
Logo
.
Agora preenchemos tudo:
Resposta
A tábua final da operação “
” em
é
e de fato satisfaz todas as condições do enunciado.