Questão 3 Use o método de Newton para encontrar a aproximação
para a solução da equação
tomando como aproximação inicial
(Use 5 casas decimais sem arredondamento).
Resposta: Encontra-se:
.
Resposta: Encontra-se:
Passo 1
O problema pede: usar o método de Newton para aproximar a solução da equação
a partir da aproximação inicial
, e calcular
. Foi solicitado apresentar os resultados com 5 casas decimais sem arredondamento (ou seja, truncando os dígitos após a quinta casa).
Informações dadas e que usaremos:
Informações dadas e que usaremos:
- Função que define a raiz:
. - Ponto inicial:
. - Queremos as três iterações seguintes:
. - Observação numérica: para calcular
de ângulos próximos de usarei a periodicidade e a identidade ; para de ângulos pequenos usarei a série de Taylor truncada para obter valores com precisão suficiente antes de truncar a 5 casas decimais na resposta final.
Passo 2
Fórmula do método de Newton (explicação didática curta e intuitiva):
Aqui
. A derivada
é a taxa de variação instantânea de
; calculamos:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Portanto a iteração de Newton específica para esta função fica
Intuição prática: em cada passo aproximamos
por sua reta tangente em
e tomamos onde essa reta corta o eixo
como próxima aproximação.
Passo 3
Cálculo de
(detalhado, com truncamento final a 5 casas decimais):
- Avaliar
com . Usamos periodicidade: , e . Note que , então
- Para
usamos a série de Taylor (termos até pequenos) para garantir precisão:
com
. Calculando os termos obtemos (apenas as somas numéricas relevantes):
- Assim
- Avaliamos
e :
- Aplicando Newton:
Agora truncamos sem arredondar a 5 casas decimais:
.
Passo 4
Cálculo de
(mesma ideia, passo a passo):
- Tomamos
(truncado). Avaliamos . Usamos novamente periodicidade e, quando apropriado, a série para ângulos pequenos após reduzir módulo . Fazendo os cálculos numéricos (detalhando o raciocínio: reduzir por e usar quando perto de ; calcular do pequeno deslocamento pela série), obtemos
- Calculamos
- Aplicando Newton:
Truncando sem arredondar a 5 casas decimais:
.
Passo 5
Cálculo de
(última iteração solicitada):
- Com
(truncado), avaliamos usando a mesma técnica (reduzir pelo período, usar série para o pequeno complemento). Fazendo os cálculos numéricos com precisão suficiente, obtemos
- Então
- Aplicando Newton:
Truncando sem arredondar a 5 casas decimais:
.