O consumo de energia elétrica (kWh) de uma fábrica ao longo de um dia é dado pela função aproximada f(t)=10+3 t^{2}-t^{3}, onde t está em horas. Calcule o consumo total entre 0 e 8 horas usando:
  • a) Regra do Trapézio \operatorname{com} n=4.
  • b) Regra de Simpson com n=4.

Passo 1

Estamos aproximando o consumo total
\int_{0}^{8}f(t)\,\mathrm{d}t
onde
f(t)=10+3t^{2}-t^{3}
usando duas regras de quadratura numérica: a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson, ambas com n=4 subdivisões igualmente espaçadas.

Passo 2

Para n=4 no intervalo [0,8] o passo é
h=\frac{8-0}{4}=2
e os nós são
t_{0}=0,\;t_{1}=2,\;t_{2}=4,\;t_{3}=6,\;t_{4}=8.

Passo 3

Calculamos f(t_{i}) em cada nó:
\begin{aligned} f(0)&=10+3\cdot0^{2}-0^{3}=10,\\\ f(2)&=10+3\cdot2^{2}-2^{3}=10+12-8=14,\\\ f(4)&=10+3\cdot4^{2}-4^{3}=10+48-64=-6,\\\ f(6)&=10+3\cdot6^{2}-6^{3}=10+108-216=-98,\\\ f(8)&=10+3\cdot8^{2}-8^{3}=10+192-512=-310. \end{aligned}

Passo 4

Regra do Trapézio com n=4:
T_{4}=\frac{h}{2}\Bigl(f(t_{0})+2\sum_{i=1}^{3}f(t_{i})+f(t_{4})\Bigr).
Substituindo valores:
T_{4} =\frac{2}{2}\Bigl(10+2(14+(-6)+(-98))+(-310)\Bigr) =1\bigl(10+2\cdot(-90)-310\bigr) =10-180-310 =-480.

Passo 5

Regra de Simpson com n=4 ( n par ):
S_{4}=\frac{h}{3}\Bigl(f(t_{0})+4\bigl(f(t_{1})+f(t_{3})\bigr)+2f(t_{2})+f(t_{4})\Bigr).
Substituindo valores:
S_{4} =\frac{2}{3}\bigl(10+4(14+(-98))+2(-6)+(-310)\bigr) =\frac{2}{3}\bigl(10+4\cdot(-84)-12-310\bigr) =\frac{2}{3}(-648) =-432.

Resposta

a) -480 kWh
b) -432 kWh

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