Um tanque é preenchido com água cuja vazão (litros/hora) é dada pela função f(x)=20+15 \sin \left(\frac{\pi x}{12}\right), sendo x o tempo em horas. Calcule o volume acumulado de água entre as horas 0 e 12 utilizando:
Regra de Simpson com \boldsymbol{n}=\mathbf{6}.

Passo 1

O enunciado pede o volume acumulado
\int_{0}^{12}f(x)\,\mathrm{d}x
onde a vazão é
f(x)=20+15\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{12}\bigr)
e devemos aproximar essa integral usando a Regra de Simpson composta com n=6.

Passo 2

Na Regra de Simpson composta definimos
h=\frac{b-a}{n}=\frac{12-0}{6}=2
e tomamos os nós
x_i=0,\,2,\,4,\,6,\,8,\,10,\,12.

Passo 3

Calculamos os valores de f(x_i):
f(0)=20,
f(2)=20+15\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=20+7,5=27,5,
f(4)=20+15\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\approx20+12,99=32,99,
f(6)=20+15\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=35,
f(8)\approx32,99,
f(10)=27,5,
f(12)=20.

Passo 4

A Regra de Simpson composta diz
\int_{0}^{12}f(x)\,\mathrm{d}x\approx\frac{h}{3}\Bigl[f(x_0) +4\sum_{\substack{i=1,3,5}}f(x_i) +2\sum_{\substack{i=2,4}}f(x_i) +f(x_6)\Bigr].
Substituindo os valores:
\int_{0}^{12}f(x)\,\mathrm{d}x\approx\frac{2}{3}\bigl[\,20 +4(27,5+35+27,5) +2(32,99+32,99) +20\bigr].

Passo 5

Dentro dos colchetes temos
20+4\cdot90+2\cdot65,98+20=531,96,
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\int_{0}^{12}f(x)\,\mathrm{d}x\approx\frac{2}{3}\times531,96\approx354,64.

Resposta

O volume aproximado pelo método de Simpson com n=6 é aproximadamente 354,64 litros.

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