Um tanque é preenchido com água cuja vazão (litros/hora) é dada pela função f(x)=20+15 \sin \left(\frac{\pi x}{12}\right), sendo x o tempo em horas. Calcule o volume acumulado de água entre as horas 0 e 12 utilizando:
Regra do Trapézio com \boldsymbol{n}=\mathbf{6}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos aproximar o volume acumulado de água entre x=0 e x=12 horas, dado pela integral
\int_{0}^{12} \bigl(20 + 15 \sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{12}\bigr)\bigr)\,dx
Usaremos a Regra do Trapézio com n=6 subintervalos.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,12] em 6 partes iguais. A largura de cada subintervalo é
h = \frac{12 - 0}{6} = 2.
Os pontos são
x_i = 0,2,4,6,8,10,12.

Passo 3

Calculamos f(x_i)=20 + 15\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x_i}{12}\bigr) em cada nó:
\begin{aligned} f(0)&=20 +15\sin(0)=20,\\\ f(2)&=20 +15\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=20+15\cdot\tfrac12=27,5,\\\ f(4)&=20 +15\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=20+15\cdot\tfrac{\sqrt{3}}2\approx32,99,\\\ f(6)&=20 +15\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=20+15\cdot1=35,\\\ f(8)&=20 +15\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=20+15\cdot\tfrac{\sqrt{3}}2\approx32,99,\\\ f(10)&=20 +15\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)=20+15\cdot\tfrac12=27,5,\\\ f(12)&=20 +15\sin(\pi)=20. \end{aligned}

Passo 4

A Regra do Trapézio com n=6 diz
\int_{0}^{12} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Bigl[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{5}f(x_i)+f(x_6)\Bigr].
Substituindo h=2 e os valores de f(x_i):
\begin{aligned} \int_{0}^{12}f(x)\,dx &\approx \frac{2}{2}\Bigl[\,20 +2\bigl(27,5+32,99+35+32,99+27,5\bigr)+20\Bigr]\\\ &= 1\Bigl[20 +2\cdot155,98 +20\Bigr]\\\ &=20 +311,96 +20 =351,96. \end{aligned}

Resposta

O volume aproximado pelo Trapézio com n=6 é de 351,96 litros.

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