Há mais de uma convenção para arredondamento. Pesquise sobre as diferentes convenções de arredondamento.
Liste todos os números representáveis em um formato de ponto fixo sem sinal com m=2 bits para a parte inteira e t=2 bits para a parte fracionária. Qual é a precisão desse formato (ou seja, a menor diferença entre dois números representáveis)? Siga o padrão:
\begin{gathered} (00.00)_{2}=0.00 \\\ (00.01)_{2}=0.25 \\\ \vdots \\\ (11.11)_{2}=3.75 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  • Pesquisar e listar as diferentes convenções de arredondamento (breve levantamento das opções e exemplos).
  • Listar todos os números representáveis em um formato de ponto fixo sem sinal com m=2 bits para a parte inteira e t=2 bits para a parte fracionária, seguindo o padrão indicado, e informar a precisão (menor diferença entre dois números representáveis).
Informações dadas explicitamente:
  • Formato sem sinal (unsigned).
  • m=2 bits para a parte inteira.
  • t=2 bits para a parte fracionária.
  • Exemplo de formato pedido: \bigl(00.00\bigr)_2=0.00 e \bigl(11.11\bigr)_2=3.75.

Passo 2

O que significa este formato de ponto fixo e como interpretar os bits (explicação passo a passo).
  • Temos, da esquerda para a direita, dois bits da parte inteira e dois bits da parte fracionária. Posicionando os pesos (valores associados às posições):
    • O bit mais significativo da parte inteira vale 2^{1}.
    • O outro bit da parte inteira vale 2^{0}.
    • O primeiro bit fracionário (logo após o ponto) vale 2^{-1}.
    • O segundo bit fracionário vale 2^{-2}.
  • Se escrevemos os bits como b_{1}b_{0}.b_{-1}b_{-2}, o valor numérico é
b_{1}2^{1}+b_{0}2^{0}+b_{-1}2^{-1}+b_{-2}2^{-2}.
  • Como é formato sem sinal, todos os bits são 0 ou 1 e não há bit de sinal.

Passo 3

Como gerar todos os números representáveis (idéia geral).
  • O número total de combinações é 2^{m+t}=2^{2+2}=16. Portanto haverá exatamente 16 valores distintos.
  • Uma maneira compacta de escrever todos os valores é notar que todos os números representáveis são múltiplos de 2^{-t}. Ou seja, qualquer valor representável pode ser escrito como
k\cdot 2^{-t},\quad k\in\{0,1,2,\dots,2^{m+t}-1\}.
  • Aqui 2^{-t}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}=0,25. Logo os valores são 0,00,\;0,25,\;0,50,\;0,75,\;1,00,\;\dots até o máximo.

Passo 4

Calcular a precisão (menor diferença entre dois números representáveis).
  • A menor diferença entre dois números consecutivos é exatamente o valor do bit menos significativo (LSB), que é 2^{-t}.
  • Substituindo t=2:
\text{LSB}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}=0,25.
  • Portanto a precisão (passo entre valores representáveis) é 0,25.

Passo 5

Converter alguns padrões de bits para ver como se faz na prova (exemplos detalhados).
  • Exemplo 1: \bigl(00.01\bigr)_2.
    • Aqui b_{1}=0,\;b_{0}=0,\;b_{-1}=0,\;b_{-2}=1.
    • Valor =0\cdot2^{1}+0\cdot2^{0}+0\cdot2^{-1}+1\cdot2^{-2}=2^{-2}=0,25.
  • Exemplo 2: \bigl(10.11\bigr)_2.
    • Aqui b_{1}=1,\;b_{0}=0,\;b_{-1}=1,\;b_{-2}=1.
    • Valor =1\cdot2^{1}+0\cdot2^{0}+1\cdot2^{-1}+1\cdot2^{-2}=2+0+0,5+0,25=2,75.
  • Exemplo 3: \bigl(11.11\bigr)_2.
    • Valor =1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}+1\cdot2^{-1}+1\cdot2^{-2}=2+1+0,5+0,25=3,75.

Passo 6

Listagem completa dos 16 padrões e seus valores decimais (seguindo exatamente o padrão pedido).
\begin{gathered} \bigl(00.00\bigr)_2 = 0,00 \\\ \bigl(00.01\bigr)_2 = 0,25 \\\ \bigl(00.10\bigr)_2 = 0,50 \\\ \bigl(00.11\bigr)_2 = 0,75 \\\ \bigl(01.00\bigr)_2 = 1,00 \\\ \bigl(01.01\bigr)_2 = 1,25 \\\ \bigl(01.10\bigr)_2 = 1,50 \\\ \bigl(01.11\bigr)_2 = 1,75 \\\ \bigl(10.00\bigr)_2 = 2,00 \\\ \bigl(10.01\bigr)_2 = 2,25 \\\ \bigl(10.10\bigr)_2 = 2,50 \\\ \bigl(10.11\bigr)_2 = 2,75 \\\ \bigl(11.00\bigr)_2 = 3,00 \\\ \bigl(11.01\bigr)_2 = 3,25 \\\ \bigl(11.10\bigr)_2 = 3,50 \\\ \bigl(11.11\bigr)_2 = 3,75 \end{gathered}

Passo 7

Levantamento didático das principais convenções de arredondamento (com exemplos aplicados ao passo 0,25).
  • Observação: quando um número real não está exatamente em um dos pontos representáveis (múltiplos de 0,25), é preciso arredondar ou truncar para caber no formato. As convenções mais comuns são:
    1. Arredondamento para zero (truncamento):
      • Regra: descarta-se a parte além do LSB; aproxima-se no sentido de zero.
      • Exemplo: 1,37 \to 1,25.
    2. Arredondamento para -\infty (floor, para baixo):
      • Regra: aproxima-se sempre para o menor valor representável.
      • Exemplo: 1,99 \to 1,75.
    3. Arredondamento para +\infty (ceil, para cima):
      • Regra: aproxima-se sempre para o maior valor representável.
      • Exemplo: 1,01 \to 1,25.
    4. Arredondamento para o mais próximo (round to nearest):
      • Regra: aproxima-se ao valor representável mais próximo.
      • Exemplo: 1,37 está mais próximo de 1,25 que de 1,50, então 1,37\to 1,25.
      • Caso de empate (valor exatamente no meio), existem sub-variações:
        a) Arredondar ao par (round-to-nearest, ties-to-even): escolhe o múltiplo cujo índice k é par. Ex.: 1,125 está no meio entre 1,00 ( k=4) e 1,25 ( k=5); escolhe 1,00 porque k=4 é par.
        b) Arredondar para o mais distante de zero (ties-away-from-zero): em empate escolhe o que aumenta a magnitude.
    5. Arredondamento estocástico:
      • Regra: quando o valor cai entre dois representáveis, escolhe-se aleatoriamente entre eles com probabilidades proporcionais às distâncias. Útil para reduzir viés em somas acumuladas.
      • Exemplo: 1,125 poderia virar 1,00 com probabilidade 0,5 e 1,25 com probabilidade 0,5 (em versões simples).
  • Observação prática para provas: os dois modos mais frequentemente encontrados em especificações são “round-to-nearest (ties-to-even)” por reduzir viés estatístico, e “truncate (round toward zero)” por simplicidade de implementação. Sempre leia o enunciado da prova para ver qual convenção usar; se não disser, especifique qual adotou antes de calcular.

Passo 8

Dicas rápidas para a hora da prova (como executar sem erro).
  • Lembre-se: LSB =2^{-t}. Aqui 2^{-2}=0,25. Sempre escreva os representáveis como múltiplos de 0,25.
  • Para converter um padrão binário, some os pesos 2^{1},2^{0},2^{-1},2^{-2} correspondentes aos bits iguais a 1.
  • Para arredondar um valor real para este formato, divida por 0,25, veja a parte fracionária do quociente e aplique a regra de arredondamento definida no enunciado (ou a que você declarar se o enunciado não disser).

Resposta

\bigl(00.00\bigr)_2 = 0,00
\bigl(00.01\bigr)_2 = 0,25
\bigl(00.10\bigr)_2 = 0,50
\bigl(00.11\bigr)_2 = 0,75
\bigl(01.00\bigr)_2 = 1,00
\bigl(01.01\bigr)_2 = 1,25
\bigl(01.10\bigr)_2 = 1,50
\bigl(01.11\bigr)_2 = 1,75
\bigl(10.00\bigr)_2 = 2,00
\bigl(10.01\bigr)_2 = 2,25
\bigl(10.10\bigr)_2 = 2,50
\bigl(10.11\bigr)_2 = 2,75
\bigl(11.00\bigr)_2 = 3,00
\bigl(11.01\bigr)_2 = 3,25
\bigl(11.10\bigr)_2 = 3,50
\bigl(11.11\bigr)_2 = 3,75
Precisão (menor diferença entre dois números representáveis): 0,25.

Exercícios relacionados