Há mais de uma convenção para arredondamento. Pesquise sobre as diferentes convenções de arredondamento.
Liste todos os números representáveis em um formato de ponto fixo sem sinal com
bits para a parte inteira e
bits para a parte fracionária. Qual é a precisão desse formato (ou seja, a menor diferença entre dois números representáveis)? Siga o padrão:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Pesquisar e listar as diferentes convenções de arredondamento (breve levantamento das opções e exemplos).
- Listar todos os números representáveis em um formato de ponto fixo sem sinal com
bits para a parte inteira e bits para a parte fracionária, seguindo o padrão indicado, e informar a precisão (menor diferença entre dois números representáveis).
Informações dadas explicitamente:
- Formato sem sinal (unsigned).
-
bits para a parte inteira. -
bits para a parte fracionária. - Exemplo de formato pedido:
e .
Passo 2
O que significa este formato de ponto fixo e como interpretar os bits (explicação passo a passo).
- Temos, da esquerda para a direita, dois bits da parte inteira e dois bits da parte fracionária. Posicionando os pesos (valores associados às posições):
- O bit mais significativo da parte inteira vale
. - O outro bit da parte inteira vale
. - O primeiro bit fracionário (logo após o ponto) vale
. - O segundo bit fracionário vale
.
- O bit mais significativo da parte inteira vale
- Se escrevemos os bits como
, o valor numérico é
- Como é formato sem sinal, todos os bits são 0 ou 1 e não há bit de sinal.
Passo 3
Como gerar todos os números representáveis (idéia geral).
- O número total de combinações é
. Portanto haverá exatamente valores distintos. - Uma maneira compacta de escrever todos os valores é notar que todos os números representáveis são múltiplos de
. Ou seja, qualquer valor representável pode ser escrito como
- Aqui
. Logo os valores são até o máximo.
Passo 4
Calcular a precisão (menor diferença entre dois números representáveis).
- A menor diferença entre dois números consecutivos é exatamente o valor do bit menos significativo (LSB), que é
. - Substituindo
:
- Portanto a precisão (passo entre valores representáveis) é
.
Passo 5
Converter alguns padrões de bits para ver como se faz na prova (exemplos detalhados).
- Exemplo 1:
. - Aqui
. - Valor
.
- Aqui
- Exemplo 2:
. - Aqui
. - Valor
.
- Aqui
- Exemplo 3:
. - Valor
.
- Valor
Passo 6
Listagem completa dos
padrões e seus valores decimais (seguindo exatamente o padrão pedido).
Passo 7
Levantamento didático das principais convenções de arredondamento (com exemplos aplicados ao passo
).
- Observação: quando um número real não está exatamente em um dos pontos representáveis (múltiplos de
), é preciso arredondar ou truncar para caber no formato. As convenções mais comuns são: - Arredondamento para zero (truncamento):
- Regra: descarta-se a parte além do LSB; aproxima-se no sentido de zero.
- Exemplo:
.
- Arredondamento para
(floor, para baixo): - Regra: aproxima-se sempre para o menor valor representável.
- Exemplo:
.
- Arredondamento para
(ceil, para cima): - Regra: aproxima-se sempre para o maior valor representável.
- Exemplo:
.
- Arredondamento para o mais próximo (round to nearest):
- Regra: aproxima-se ao valor representável mais próximo.
- Exemplo:
está mais próximo de que de , então . - Caso de empate (valor exatamente no meio), existem sub-variações:
a) Arredondar ao par (round-to-nearest, ties-to-even): escolhe o múltiplo cujo índiceé par. Ex.: está no meio entre ( ) e ( ); escolhe porque é par.
b) Arredondar para o mais distante de zero (ties-away-from-zero): em empate escolhe o que aumenta a magnitude.
- Arredondamento estocástico:
- Regra: quando o valor cai entre dois representáveis, escolhe-se aleatoriamente entre eles com probabilidades proporcionais às distâncias. Útil para reduzir viés em somas acumuladas.
- Exemplo:
poderia virar com probabilidade e com probabilidade (em versões simples).
- Arredondamento para zero (truncamento):
- Observação prática para provas: os dois modos mais frequentemente encontrados em especificações são “round-to-nearest (ties-to-even)” por reduzir viés estatístico, e “truncate (round toward zero)” por simplicidade de implementação. Sempre leia o enunciado da prova para ver qual convenção usar; se não disser, especifique qual adotou antes de calcular.
Passo 8
Dicas rápidas para a hora da prova (como executar sem erro).
- Lembre-se: LSB
. Aqui . Sempre escreva os representáveis como múltiplos de . - Para converter um padrão binário, some os pesos
correspondentes aos bits iguais a 1. - Para arredondar um valor real para este formato, divida por
, veja a parte fracionária do quociente e aplique a regra de arredondamento definida no enunciado (ou a que você declarar se o enunciado não disser).
Resposta
Precisão (menor diferença entre dois números representáveis):
.