Vetor do lado direito b=\begin{pmatrix}16\\[4pt]38\\[4pt]38\end{pmatrix}.]
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (passo a passo didático):
A decomposição LU que usaremos é a forma de Doolittle, isto é, escrevemos A=LU onde L é triangular inferior com diagonal unitária (l_{ii}=1) e U é triangular superior.
Para uma matriz 3\times3 temos as incógnitas das entradas de L e U. As relações diretas são (usando os elementos a_{ij} de A):\begin{aligned} u_{11} &= a_{11},\\[4pt] l_{i1} &= \dfrac{a_{i1}}{u_{11}}\quad (i=2,3),\\[6pt] u_{1j} &= a_{1j}\quad (j=2,3),\\[6pt] u_{22} &= a_{22}-l_{21}u_{12},\\[4pt] u_{23} &= a_{23}-l_{21}u_{13},\\[4pt] l_{32} &= \dfrac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}},\\[6pt] u_{33} &= a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}. \end{aligned}
Depois de obter L e U resolvemos Ly=b por substituição para frente e em seguida Ux=y por substituição para trás.]
Passo 3
Começando a calcular L e U (primeira linha/coluna):
u_{11}=a_{11}=20.
Entradas da primeira linha de U:
u_{12}=a_{12}=7,\qquad u_{13}=a_{13}=9.
Entradas da primeira coluna de L (exceto diagonal que é 1):
Concluímos que a solução do sistema é x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=1. Boa! Você fez o percurso: fatoração LU, substituição para frente e para trás — e deu certinho.