Resolva o sistema linear:
\left\{\begin{aligned} 20 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3} & =16 \\\\ 7 x_{1}+30 x_{2}+8 x_{3} & =38 \\\\ 9 x_{1}+8 x_{2}+30 x_{3} & =38 \end{aligned}\right.
utilizando o método de Decomposição LU;

Passo 1

O problema pede resolver o sistema linear
\left\{\begin{aligned} 20 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3} & =16,\\\\ 7 x_{1}+30 x_{2}+8 x_{3} & =38,\\\\ 9 x_{1}+8 x_{2}+30 x_{3} & =38, \end{aligned}\right.
utilizando a decomposição LU. As informações dadas são os coeficientes da matriz e o vetor do lado direito:
  • Matriz dos coeficientes A=\begin{pmatrix}20 & 7 & 9\\[4pt]7 & 30 & 8\\[4pt]9 & 8 & 30\end{pmatrix}.
  • Vetor do lado direito b=\begin{pmatrix}16\\[4pt]38\\[4pt]38\end{pmatrix}.]

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (passo a passo didático):
  • A decomposição LU que usaremos é a forma de Doolittle, isto é, escrevemos A=LU onde L é triangular inferior com diagonal unitária ( l_{ii}=1) e U é triangular superior.
  • Para uma matriz 3\times3 temos as incógnitas das entradas de L e U. As relações diretas são (usando os elementos a_{ij} de A): \begin{aligned} u_{11} &= a_{11},\\[4pt] l_{i1} &= \dfrac{a_{i1}}{u_{11}}\quad (i=2,3),\\[6pt] u_{1j} &= a_{1j}\quad (j=2,3),\\[6pt] u_{22} &= a_{22}-l_{21}u_{12},\\[4pt] u_{23} &= a_{23}-l_{21}u_{13},\\[4pt] l_{32} &= \dfrac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}},\\[6pt] u_{33} &= a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}. \end{aligned}
  • Depois de obter L e U resolvemos Ly=b por substituição para frente e em seguida Ux=y por substituição para trás.]

Passo 3

Começando a calcular L e U (primeira linha/coluna):
u_{11}=a_{11}=20.
Entradas da primeira linha de U:
u_{12}=a_{12}=7,\qquad u_{13}=a_{13}=9.
Entradas da primeira coluna de L (exceto diagonal que é 1):
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{7}{20},\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{9}{20}.

Passo 4

Calcular u_{22} e u_{23} e depois l_{32}:
u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=30-\frac{7}{20}\cdot 7=30-\frac{49}{20}=\frac{551}{20}.
u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=8-\frac{7}{20}\cdot 9=8-\frac{63}{20}=\frac{97}{20}.
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}} =\frac{8-\frac{9}{20}\cdot7}{\,\frac{551}{20}\,} =\frac{\frac{160-63}{20}}{\frac{551}{20}} =\frac{97}{551}.

Passo 5

Calcular u_{33}:
u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}.
Substituindo frações:
\begin{aligned} u_{33} &=30-\frac{9}{20}\cdot 9-\frac{97}{551}\cdot\frac{97}{20}\\[4pt] &=30-\frac{81}{20}-\frac{9409}{11020}. \end{aligned}
Colocando em denominador comum 11020:
u_{33}=\frac{330600-44631-9409}{11020}=\frac{276560}{11020}=\frac{13828}{551}.]

Passo 6

Escrevendo as matrizes L e U obtidas:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{7}{20} & 1 & 0\\[4pt] \frac{9}{20} & \frac{97}{551} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 20 & 7 & 9\\[4pt] 0 & \frac{551}{20} & \frac{97}{20}\\[4pt] 0 & 0 & \frac{13828}{551} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver Ly=b por substituição para frente. Escrevendo y=(y_1,y_2,y_3)^T:
Primeira equação:
y_{1}=b_{1}=16.
Segunda equação:
y_{2}=b_{2}-l_{21}y_{1}=38-\frac{7}{20}\cdot16=38-\frac{112}{20}=38-\frac{28}{5}=\frac{162}{5}.
Terceira equação:
\begin{aligned} y_{3}&=b_{3}-l_{31}y_{1}-l_{32}y_{2}\\[4pt] &=38-\frac{9}{20}\cdot16-\frac{97}{551}\cdot\frac{162}{5}. \end{aligned}
Calculando exatamente com denominador comum 2755 (observe que 2755=5\cdot551):
y_{3}=\frac{104690-19836-15714}{2755}=\frac{69140}{2755}.
(Decimal \approx 25,096188.)]

Passo 8

Resolver Ux=y por substituição para trás. Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3)^T.
Terceira equação de trás para frente:
\frac{13828}{551}x_{3}=y_{3}=\frac{69140}{2755}.
Note que 2755=5\cdot551, então
x_{3}=\frac{\frac{69140}{2755}}{\frac{13828}{551}} =\frac{69140}{2755}\cdot\frac{551}{13828} =\frac{69140}{5\cdot13828}\cdot\frac{551}{551} =\frac{69140}{69140}=1.
Segunda equação:
\frac{551}{20}x_{2}+\frac{97}{20}x_{3}=y_{2}=\frac{162}{5}.
Substituindo x_{3}=1 e multiplicando por 20:
551x_{2}+97=20\cdot\frac{162}{5}=648.
Logo
551x_{2}=648-97=551\quad\Rightarrow\quad x_{2}=1.
Primeira equação:
20x_{1}+7x_{2}+9x_{3}=16.
Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=1:
20x_{1}+7+9=16\quad\Rightarrow\quad 20x_{1}+16=16\quad\Rightarrow\quad x_{1}=0.

Passo 9

Concluímos que a solução do sistema é x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=1. Boa! Você fez o percurso: fatoração LU, substituição para frente e para trás — e deu certinho.

Resposta

x_{1}=0
x_{2}=1
x_{3}=1

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