Resolva o sistema linear:
\left\{\begin{aligned} 20 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3} & =16 \\\\ 7 x_{1}+30 x_{2}+8 x_{3} & =38 \\\\ 9 x_{1}+8 x_{2}+30 x_{3} & =38 \end{aligned}\right.
utilizando o método de Eliminação de Gauss;

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear com três equações e pede que o resolvamos usando Eliminação de Gauss. As equações dadas são:
\begin{aligned} 20x_{1}+7x_{2}+9x_{3} &=16,\\[4pt] 7x_{1}+30x_{2}+8x_{3} &=38,\\[4pt] 9x_{1}+8x_{2}+30x_{3} &=38. \end{aligned}
Informações relevantes:
  • Há três incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}\, e três equações.
  • Queremos transformar o sistema numa forma triangular via operações elementares sobre linhas para depois fazer substituição regressiva (back-substitution).
  • Todas as constantes e coeficientes são inteiros; por isso, quando surgirem frações eu vou mantê-las exatas (sem arredondar).]

Passo 2

Rápida receita do método (sem resolver ainda): montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra) para zerar abaixo do pivô (primeiro coluna, depois segunda, etc.), obtendo uma matriz triangular superior; então fazer substituição regressiva para achar as incógnitas. Essas operações preservam o conjunto de soluções.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 20 & 7 & 9 & 16\\[4pt] 7 & 30 & 8 & 38\\[4pt] 9 & 8 & 30 & 38 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação na primeira coluna: usar 20 (linha 1) como primeiro pivô e zerar as entradas 7 e 9 nas linhas 2 e 3.
Fazemos as operações
R_{2}\leftarrow R_{2}-\frac{7}{20}R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-\frac{9}{20}R_{1}.
Calculemos cada novo elemento com cuidado (mantendo frações exatas).
Para R_{2}:
\begin{aligned} \text{nova }a_{21} &= 7-\frac{7}{20}\cdot 20 = 0,\\[4pt] \text{nova }a_{22} &= 30-\frac{7}{20}\cdot 7 = 30-\frac{49}{20}=\frac{600-49}{20}=\frac{551}{20},\\[4pt] \text{nova }a_{23} &= 8-\frac{7}{20}\cdot 9 = 8-\frac{63}{20}=\frac{160-63}{20}=\frac{97}{20},\\[4pt] \text{nova }b_{2} &= 38-\frac{7}{20}\cdot 16 = 38-\frac{112}{20}=38-\frac{28}{5}=\frac{162}{5}. \end{aligned}
Para R_{3}:
\begin{aligned} \text{nova }a_{31} &= 9-\frac{9}{20}\cdot 20 = 0,\\[4pt] \text{nova }a_{32} &= 8-\frac{9}{20}\cdot 7 = 8-\frac{63}{20}=\frac{160-63}{20}=\frac{97}{20},\\[4pt] \text{nova }a_{33} &= 30-\frac{9}{20}\cdot 9 = 30-\frac{81}{20}=\frac{600-81}{20}=\frac{519}{20},\\[4pt] \text{nova }b_{3} &= 38-\frac{9}{20}\cdot 16 = 38-\frac{144}{20}=38-\frac{36}{5}=\frac{154}{5}. \end{aligned}
A matriz aumentada após essas operações fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 20 & 7 & 9 & 16\\[4pt] 0 & \dfrac{551}{20} & \dfrac{97}{20} & \dfrac{162}{5}\\[6pt] 0 & \dfrac{97}{20} & \dfrac{519}{20} & \dfrac{154}{5} \end{array}\right].]

Passo 5

Para simplificar os cálculos seguintes é conveniente eliminar as frações nas linhas 2 e 3 multiplicando cada uma por 20 (multiplicar uma linha por escalar é operação elementar válida). Definimos
R_{2}'=20R_{2},\qquad R_{3}'=20R_{3},
obtendo linhas inteiras:
R_{2}' = [\,0\\ ;\\\ 551\\ ;\\\ 97\\ ;\\\ 648\,],\qquad R_{3}' = [\,0\\ ;\\\ 97\\ ;\\\ 519\\ ;\\\ 616\,].
A matriz equivalente (com a primeira linha inalterada) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 20 & 7 & 9 & 16\\[4pt] 0 & 551 & 97 & 648\\[4pt] 0 & 97 & 519 & 616 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora usamos o pivô 551 (entrada da linha 2, coluna 2) para zerar a entrada 97 na linha 3. Aplicamos
R_{3}'' \leftarrow R_{3}' - \frac{97}{551}R_{2}'.
Os cálculos (mostrados passo a passo):
  • A entrada da coluna 2 fica 97-\frac{97}{551}\cdot 551 = 0 (como esperado).
  • A entrada da coluna 3:
519 - \frac{97}{551}\cdot 97 = \frac{519\cdot 551 - 97\cdot 97}{551}.
Calculando numeradores:
519\cdot 551 = 519\cdot(550+1)=519\cdot550+519=285450+519=285969,
97\cdot97=9409,
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\text{nova }a_{33}=\frac{285969-9409}{551}=\frac{276560}{551}.
  • O termo independente (lado direito):
616 - \frac{97}{551}\cdot 648 = \frac{616\cdot 551 - 97\cdot 648}{551}.
Calculando numeradores:
616\cdot 551 = 616\cdot(550+1)=616\cdot550+616=338800+616=339416,
97\cdot648 = 62856,
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\text{nova }b_{3}=\frac{339416-62856}{551}=\frac{276560}{551}.
Portanto a terceira linha após a eliminação fica
[\,0\\ ;\\\ 0\\ ;\\ \tfrac{276560}{551}\\ ;\\ \tfrac{276560}{551}\,].

Passo 7

A terceira equação triangular resultante é
\frac{276560}{551}\,x_{3}=\frac{276560}{551}.
Dividindo ambos os lados pela constante (que é não nula) obtemos imediatamente
x_{3}=1.

Passo 8

Substituímos x_{3}=1 na segunda linha triangular (na forma inteira que tínhamos em R_{2}'):
551\,x_{2}+97\,x_{3}=648.
Com x_{3}=1 temos
551\,x_{2}+97=648\quad\Rightarrow\quad 551\,x_{2}=648-97=551,
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x_{2}=1.

Passo 9

Finalmente substituímos x_{2}=1 e x_{3}=1 na primeira equação original para obter x_{1}:
20x_{1}+7x_{2}+9x_{3}=16.
Substituindo:
20x_{1}+7\cdot 1+9\cdot 1=16\quad\Rightarrow\quad 20x_{1}+16=16,
portanto
20x_{1}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}=0.

Passo 10

Vistoria rápida (checar que a solução satisfaz todas as equações):
  • Primeira: 20\cdot 0+7\cdot 1+9\cdot 1=0+7+9=16 OK.
  • Segunda: 7\cdot 0+30\cdot 1+8\cdot 1=0+30+8=38 OK.
  • Terceira: 9\cdot 0+8\cdot 1+30\cdot 1=0+8+30=38 OK.

Resposta

x_{1}=0
x_{2}=1
x_{3}=1

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