E10: Dada a função
, encontre uma raiz pelo método da secante e uma segunda (distinta) raiz pelo método de Newton, em ambos os casos use uma precisão de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) encontrar uma raiz usando o método da secante; (ii) encontrar uma segunda raiz distinta usando o método de Newton. Em ambos os casos devemos atingir uma precisão
.
Informações úteis extraídas do enunciado: e a derivada (que usaremos no método de Newton) é
.
Nada mais é pedido — portanto vou aplicar exatamente os dois métodos indicados, cada um com um chute inicial apropriado, e parar quando a diferença entre duas iterações consecutivas satisfizer .
Informações úteis extraídas do enunciado:
Nada mais é pedido — portanto vou aplicar exatamente os dois métodos indicados, cada um com um chute inicial apropriado, e parar quando a diferença entre duas iterações consecutivas satisfizer
Passo 2
Breve revisão didática do método da secante (pra você entender na prova):
- A secante usa duas aproximações anteriores
e e aproxima a curva por uma reta que passa pelos pontos e . - A fórmula de iteração é
- Critério de parada prático e pedido aqui: parar quando
. - Observação: não precisamos da derivada, por isso a secante é útil quando a derivada é difícil de avaliar.
Passo 3
Escolha dos chutes iniciais para a secante (explicação/conforto):
Vendo e
, existe uma raiz entre
e
. Vou aplicar a secante com
e
, que é natural e simples para a prova.
Vendo
Passo 4
Iterações do método da secante (mostrando as contas para você copiar na prova):
-
Valores iniciais:
-
Iteração 1 (calcular
): Calcule: -
Iteração 2 (calcular
): Calcule: -
Iteração 3 (calcular
): Calcule: -
Iteração 4 (calcular
): Diferença entre últimas duas iterações:
Portanto a secante convergiu e podemos parar com a precisão pedida. A raiz (pela secante) é aproximadamente
.
Passo 5
Breve revisão didática do método de Newton (o básico para a prova):
- Newton usa a aproximação linear (reta tangente) em
para encontrar . A fórmula é
- Aqui é necessário calcular
. - Critério de parada que usaremos:
. - Newton costuma convergir muito rápido se o chute inicial for razoável.
Passo 6
Escolha do chute inicial para Newton (explicação):
Observando sinais, e
, há uma raiz entre
e
. Vou escolher um chute inicial
(simples e central) e aplicar Newton.
Observando sinais,
Passo 7
Iterações do método de Newton (contas detalhadas):
-
Valores iniciais:
.
Calcule
Calcule -
Iteração 1:
-
Iteração 2:
Calculee . -
Iteração 3:
Calculee . -
Iteração 4:
Calculee . Diferença entre últimas duas iterações:
Portanto o método de Newton convergiu com a precisão pedida. A raiz encontrada por Newton é aproximadamente
.
Passo 8
Resumo rápido e incentivo final (rápido): conseguimos duas raízes distintas com a precisão exigida: uma pela secante e outra por Newton. Você pode reproduzir as mesmas etapas numa folha de prova — é só seguir as fórmulas, escolher chutes que façam sentido (trocar por vizinhos onde o sinal muda) e verificar a condição
. Tá indo bem — continua praticando essas iterações que na prova fica rápido!
Resposta
Secante:
Newton:
Newton: