E10: Dada a função f(x)=e^{x}-3 x^{2}, encontre uma raiz pelo método da secante e uma segunda (distinta) raiz pelo método de Newton, em ambos os casos use uma precisão de \varepsilon \leq 0.001

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x}-3x^{2} e pede duas coisas: (i) encontrar uma raiz usando o método da secante; (ii) encontrar uma segunda raiz distinta usando o método de Newton. Em ambos os casos devemos atingir uma precisão \varepsilon \leq 0,001.
Informações úteis extraídas do enunciado: f(x)=e^{x}-3x^{2} e a derivada (que usaremos no método de Newton) é f'(x)=e^{x}-6x.
Nada mais é pedido — portanto vou aplicar exatamente os dois métodos indicados, cada um com um chute inicial apropriado, e parar quando a diferença entre duas iterações consecutivas satisfizer |x_{n+1}-x_{n}|\le 0,001.

Passo 2

Breve revisão didática do método da secante (pra você entender na prova):
  • A secante usa duas aproximações anteriores x_{n-1} e x_{n} e aproxima a curva por uma reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})).
  • A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • Critério de parada prático e pedido aqui: parar quando |x_{n+1}-x_{n}|\le \varepsilon.
  • Observação: não precisamos da derivada, por isso a secante é útil quando a derivada é difícil de avaliar.

Passo 3

Escolha dos chutes iniciais para a secante (explicação/conforto):
Vendo f(0)=1>0 e f(1)=e-3\approx -0,2817<0, existe uma raiz entre 0 e 1. Vou aplicar a secante com x_{0}=0 e x_{1}=1, que é natural e simples para a prova.

Passo 4

Iterações do método da secante (mostrando as contas para você copiar na prova):
  • Valores iniciais:
    x_{0}=0,\quad f(x_{0})=f(0)=1.
    x_{1}=1,\quad f(x_{1})=f(1)=e-3\approx -0,281718.
  • Iteração 1 (calcular x_{2}):
    x_{2}=1 - (-0,281718)\frac{1-0}{-0,281718-1}=1- \frac{-0,281718}{-1,281718}\approx 0,7802768.
    Calcule f(x_{2}): f(0,7802768)=e^{0,7802768}-3(0,7802768)^{2}\approx 0,355707.
  • Iteração 2 (calcular x_{3}):
    x_{3}=0,7802768 - 0,355707\frac{0,7802768-1}{0,355707-(-0,281718)}\approx 0,902883.
    Calcule f(x_{3}): f(0,902883)\approx 0,021487.
  • Iteração 3 (calcular x_{4}):
    x_{4}=0,902883 - 0,021487\frac{0,902883-0,7802768}{0,021487-0,355707}\approx 0,910762.
    Calcule f(x_{4}): f(0,910762)\approx -0,001863.
  • Iteração 4 (calcular x_{5}):
    x_{5}=0,910762 - (-0,001863)\frac{0,910762-0,902883}{-0,001863-0,021487}\approx 0,910133.
    Diferença entre últimas duas iterações: |x_{5}-x_{4}|=|0,910133-0,910762|\approx 0,000629\le 0,001.
Portanto a secante convergiu e podemos parar com a precisão pedida. A raiz (pela secante) é aproximadamente x\approx 0,910133.

Passo 5

Breve revisão didática do método de Newton (o básico para a prova):
  • Newton usa a aproximação linear (reta tangente) em x_{n} para encontrar x_{n+1}. A fórmula é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Aqui é necessário calcular f'(x)=e^{x}-6x.
  • Critério de parada que usaremos: |x_{n+1}-x_{n}|\le\varepsilon.
  • Newton costuma convergir muito rápido se o chute inicial for razoável.

Passo 6

Escolha do chute inicial para Newton (explicação):
Observando sinais, f(3)=e^{3}-27\approx -6,915 e f(4)=e^{4}-48\approx 6,598, há uma raiz entre 3 e 4. Vou escolher um chute inicial x_{0}=3,5 (simples e central) e aplicar Newton.

Passo 7

Iterações do método de Newton (contas detalhadas):
  • Valores iniciais:
    x_{0}=3,5.
    Calcule f(x_{0})=e^{3,5}-3(3,5)^{2}\approx -3,63455.
    Calcule f'(x_{0})=e^{3,5}-6(3,5)\approx 12,11545.
  • Iteração 1:
    x_{1}=3,5 - \frac{-3,63455}{12,11545}\approx 3,800127.
  • Iteração 2:
    Calcule f(x_{1})\approx 1,3831 e f'(x_{1})\approx 21,9052.
    x_{2}=3,800127 - \frac{1,3831}{21,9052}\approx 3,736986.
  • Iteração 3:
    Calcule f(x_{2})\approx 0,0887 e f'(x_{2})\approx 19,560.
    x_{3}=3,736986 - \frac{0,0887}{19,560}\approx 3,732448.
  • Iteração 4:
    Calcule f(x_{3})\approx -0,00415 e f'(x_{3})\approx 19,3943.
    x_{4}=3,732448 - \frac{-0,00415}{19,3943}\approx 3,732662.
    Diferença entre últimas duas iterações: |x_{4}-x_{3}|\approx 0,000214\le 0,001.
Portanto o método de Newton convergiu com a precisão pedida. A raiz encontrada por Newton é aproximadamente x\approx 3,732662.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo final (rápido): conseguimos duas raízes distintas com a precisão exigida: uma pela secante e outra por Newton. Você pode reproduzir as mesmas etapas numa folha de prova — é só seguir as fórmulas, escolher chutes que façam sentido (trocar por vizinhos onde o sinal muda) e verificar a condição |x_{n+1}-x_{n}|\le\varepsilon. Tá indo bem — continua praticando essas iterações que na prova fica rápido!

Resposta

Secante: 0,910133
Newton: 3,732662

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